Problem K/C. 717. (January 2022)

K/C. 717. In a regular dodecagon \(\displaystyle ABCDEFGHIJKL\) the squares \(\displaystyle ABPQ\) and \(\displaystyle GHRS\) are drawn on sides \(\displaystyle AB\) and \(\displaystyle GH\), on the inside, as shown in the figure. Show that \(\displaystyle PQ\) and \(\displaystyle RS\) are two opposite sides of a regular hexagon.

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szabályos tizenkétszög minden szöge \(\displaystyle \frac{10\cdot180^{\circ}}{12}=150^{\circ}\)-os.

Az eredeti ábrán az \(\displaystyle LAQ\) háromszög szabályos, mert \(\displaystyle LA=QA\) és \(\displaystyle LAQ\angle=150^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}\).

\(\displaystyle KLQ\angle=150^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}\), így a \(\displaystyle KL\) oldalra befelé írt négyzet harmadik csúcsa \(\displaystyle Q\) (negyedik csúcsát jelölje \(\displaystyle T\)).

\(\displaystyle PQT\angle=360^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=120^{\circ}\), és \(\displaystyle PQ=QT\).

Hasonlóképpen tovább haladva kapjuk, hogy \(\displaystyle TR=RS\), és \(\displaystyle QTR\angle=120^{\circ}\).

Szimmetrikusan kapjuk a \(\displaystyle V\) pontot is, így a \(\displaystyle QPVSRT\) hatszögről beláttuk, hogy minden oldala egyenlő hosszú és a szögei \(\displaystyle 120^{\circ}\)-osak, tehát szabályos hatszög.

Statistics:

161 students sent a solution.
5 points:	Baksa Anna, Balog Benedek, Baráth Borbála, Bencze Mátyás, Berényi-Sima Lajos, Bettesch Emma Léda, Bettesch Helga Adél, Böröczky András Bálint, Deményi Zalán, Fehér Eszter, Fehérvári Donát, Fodor Dóra, Garamszegi Hanna, Gaspari Márton Samu, Haskó Emma, Horváth 221 Zsóka, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Jármai Roland, Juhász Emma, Kerekes András, Klement Tamás, Körmöndi Márk, Lupkovics Lilla, Mező Levente, Nagy 292 Korina, Németh Bernát, Petrányi Lilla, Pocsay Levente László, Pulka Gergely Tamás, Rási Bence, Sándor Eszter, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sütő Áron, Téglás Dorka, Ujpál Bálint, Végh Lilian.
4 points:	44 students.
3 points:	30 students.
2 points:	14 students.
1 point:	6 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	11 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2022