Problem K/C. 718. (January 2022)

K/C. 718. How many numbers are there from 1 to 50 that can be represented as a sum of at least two consecutive non-negative integers?

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Bármely páratlan szám felírható két szomszédos egész összegeként. (A szám fele nem egész, de a lefelé és felfelé kerekített értékek összege éppen a szám.) \(\displaystyle 1=0+1\), \(\displaystyle 3=1+2\), \(\displaystyle 5=2+3\), ..., \(\displaystyle 19=9+10\). Páros szám viszont ugyanezen ok miatt nem bontható fel két szomszédos egész szám összegeként.

A páros számok közül mind felírhatók azok, melyeknek van 1-től különböző páratlan osztója. Ennek a páratlan osztónak az osztópárja lesz az egymás utáni egészek között a középső szám és szimmetrikusan vegyük a többi tagot. Pl: \(\displaystyle 42=7\cdot6=3+4+5+6+7+8+9\).

Azok a páros számok, melyeknek nincs 1-től különböző páratlan osztója (tehát minden osztója páros és így minden prímosztója is az) a kettőhatványok. A kettőhatványok nem írhatók fel kettőnél több szomszédos egész szám összegeként sem az alábbiak miatt.

Ha páratlan sok egymást követő egész szám összege lenne kettőhatvány, akkor a középső számmal (átlag) osztható lenne a kettőhatvány, méghozzá páratlan sokszor. De egy kettőhatványnak az 1-en kívül csak páros osztói vannak.

Ha páros sok egymást követő egész szám összege lenne kettőhatvány, akkor a tagok átlaga nem egész, hanem egy „félszám” és ennek páros számszorosa a kettőhatvány. De ez nem lehet, mert \(\displaystyle (n+0,5)\cdot2k=2^l\) miatt \(\displaystyle (2n+1)\cdot2k=2^{l+1}\), ami ellentmondás, hiszen \(\displaystyle 2n+1\) páratlan szám és osztója \(\displaystyle 2^{l+1}\)-nek.

Minden szám előáll, kivéve a 2, 4, 8, 16 és 32, tehát 45-féle összeget kapunk.

Statistics:

200 students sent a solution.
5 points:	100 students.
4 points:	29 students.
3 points:	9 students.
2 points:	4 students.
1 point:	36 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	9 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2022