A K/C. 718. feladat (2022. január)

K/C. 718. Hány olyan szám van 1-től 50-ig, amit fel lehet írni legalább két szomszédos nemnegatív egész szám összegeként?

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Bármely páratlan szám felírható két szomszédos egész összegeként. (A szám fele nem egész, de a lefelé és felfelé kerekített értékek összege éppen a szám.) \(\displaystyle 1=0+1\), \(\displaystyle 3=1+2\), \(\displaystyle 5=2+3\), ..., \(\displaystyle 19=9+10\). Páros szám viszont ugyanezen ok miatt nem bontható fel két szomszédos egész szám összegeként.

A páros számok közül mind felírhatók azok, melyeknek van 1-től különböző páratlan osztója. Ennek a páratlan osztónak az osztópárja lesz az egymás utáni egészek között a középső szám és szimmetrikusan vegyük a többi tagot. Pl: \(\displaystyle 42=7\cdot6=3+4+5+6+7+8+9\).

Azok a páros számok, melyeknek nincs 1-től különböző páratlan osztója (tehát minden osztója páros és így minden prímosztója is az) a kettőhatványok. A kettőhatványok nem írhatók fel kettőnél több szomszédos egész szám összegeként sem az alábbiak miatt.

Ha páratlan sok egymást követő egész szám összege lenne kettőhatvány, akkor a középső számmal (átlag) osztható lenne a kettőhatvány, méghozzá páratlan sokszor. De egy kettőhatványnak az 1-en kívül csak páros osztói vannak.

Ha páros sok egymást követő egész szám összege lenne kettőhatvány, akkor a tagok átlaga nem egész, hanem egy „félszám” és ennek páros számszorosa a kettőhatvány. De ez nem lehet, mert \(\displaystyle (n+0,5)\cdot2k=2^l\) miatt \(\displaystyle (2n+1)\cdot2k=2^{l+1}\), ami ellentmondás, hiszen \(\displaystyle 2n+1\) páratlan szám és osztója \(\displaystyle 2^{l+1}\)-nek.

Minden szám előáll, kivéve a 2, 4, 8, 16 és 32, tehát 45-féle összeget kapunk.

Statisztika:

200 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	100 versenyző.
4 pontot kapott:	29 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	36 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. januári matematika feladatai