Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K/C. 727. (March 2022)

K/C. 727. On each field of an \(\displaystyle n\times n\) table there is a coin, on all of them ``heads'' showing on top. In each move, we can turn over exactly three coins in any row or column, changing heads to tails and tails to heads. If \(\displaystyle n>2\), is it possible to achieve with a sufficient number of moves that tails should show on top of each coin? Explain your answer.

(5 pont)

Deadline expired on April 11, 2022.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Igen, elérhetjük minden \(\displaystyle n>2\) esetén.

Ha \(\displaystyle n\) 3-mal osztható, akkor soronként hármasával haladva minden sorban csupa írás lesz felül.

Ha \(\displaystyle n\) 3-mal osztva 1 maradékot ad, akkor soronként hármasával haladva érjük el, hogy \(\displaystyle n-4\) írás és 4 fej legyen. Fordítsunk meg 1 írást és 2 fejet, így \(\displaystyle n-3\) írás és 3 fej lesz, majd fordítsuk meg a 3 fejet; és ezt a többi sorral is csináljuk meg. (n=4-re: Minden sorban csináljuk pl. ezt a négy lépést: FFFF, IIIF, FFII, FIFF, IIII.)

Ha \(\displaystyle n\) 3-mal osztva 2 maradékot ad, akkor soronként hármasával haladva érjük el, hogy \(\displaystyle n-2\) írás és 2 fej legyen. Fordítsunk meg 2 írást és 1 fejet, így \(\displaystyle n-3\) írás és 3 fej lesz, majd fordítsuk meg a 3 fejet; és ezt a többi sorral is csináljuk meg.


Statistics:

127 students sent a solution.
5 points:53 students.
4 points:9 students.
3 points:10 students.
2 points:22 students.
1 point:8 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:4 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2022