Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K/C. 728. feladat (2022. március)

K/C. 728. Van 10 darab számkártyánk, rajtuk az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 számok. A számkártyákat letesszük egy sorba az asztalra és rájuk írjuk a sorszámukat, azaz 1-től 10-ig beszámozzuk a lapokat. Így minden lapon két szám szerepel. Minden lapon összeszorozzuk a két számot, majd a szorzatokat összeadjuk. Mennyi lesz a kapott érték,

\(\displaystyle a)\) ha ez a lehető legkisebb,

\(\displaystyle b)\) ha ez a lehető legnagyobb?

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. április 11-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) \(\displaystyle 1\cdot a + 2\cdot b + 3\cdot c + 4 \cdot d + \ldots + 10 \cdot j\) értékét vizsgáljuk, ahol az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle j\) betűk az 1, 2, 3, ..., 10 számok valamilyen sorrendben.

Ha pl. \(\displaystyle a < b\), akkor \(\displaystyle 1\cdot a + 2\cdot b + 3 \cdot c + 4 \cdot d + \ldots + 10 \cdot j > 1\cdot b + 2\cdot a + 3 \cdot c + 4\cdot d + \ldots + 10 \cdot j\), mert \(\displaystyle 3c\)-t, \(\displaystyle 4d\)-t, \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 10j\)-t elvéve \(\displaystyle 1\cdot a+2\cdot b>1\cdot b+2\cdot a\), azaz \(\displaystyle b>a\). Vagyis (hasonlóan az előző gondolatmenethez belátható, hogy) az összeg nem lehet a legkisebb akkor, ha balról jobbra nézve a második tényezőket van közöttük kettő olyan, melyek közül a jobbra lévő a nagyobb. Mert, ha lenne ilyen, akkor kicserélve őket az összeg csökkenne.

Így a legkisebb összeg az \(\displaystyle 1 \cdot10 + 2\cdot9 + 3 \cdot8 + 4 \cdot7 + \ldots + 10 \cdot 1= 220.\)

\(\displaystyle b)\) Hasonlóan a legnagyobb összeg esetén, csak éppen fordítva: az összeg nem lehet a legnagyobb akkor, ha balról jobbra nézve a második tényezőket van közöttük kettő olyan, melyek közül a jobbra lévő a kisebb. Mert, ha lenne ilyen, akkor kicserélve őket az összeg nőne. Így a legnagyobb összeg az \(\displaystyle 1 \cdot 1 + 2 \cdot2 + 3 \cdot3 + 4 \cdot4 + \ldots 10 \cdot10 = 385.\)


Statisztika:

174 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:138 versenyző.
4 pontot kapott:11 versenyző.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:3 dolgozat.

A KöMaL 2022. márciusi matematika feladatai