Problem K/C. 728. (March 2022)

K/C. 728. We have 10 cards, with the numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 written on them. The cards are laid on the table in a random order in a row, and then we write the number of its position on each card (that is, the cards are numbered from 1 to 10). Thus there will be two numbers on each card. The two numbers on each card are multiplied together, and the products are all added up.

\(\displaystyle a)\) What is the smallest possible value of the final sum?

\(\displaystyle b)\) What is the largest possible value of the final sum?

(5 pont)

Deadline expired on April 11, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) \(\displaystyle 1\cdot a + 2\cdot b + 3\cdot c + 4 \cdot d + \ldots + 10 \cdot j\) értékét vizsgáljuk, ahol az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle j\) betűk az 1, 2, 3, ..., 10 számok valamilyen sorrendben.

Ha pl. \(\displaystyle a < b\), akkor \(\displaystyle 1\cdot a + 2\cdot b + 3 \cdot c + 4 \cdot d + \ldots + 10 \cdot j > 1\cdot b + 2\cdot a + 3 \cdot c + 4\cdot d + \ldots + 10 \cdot j\), mert \(\displaystyle 3c\)-t, \(\displaystyle 4d\)-t, \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 10j\)-t elvéve \(\displaystyle 1\cdot a+2\cdot b>1\cdot b+2\cdot a\), azaz \(\displaystyle b>a\). Vagyis (hasonlóan az előző gondolatmenethez belátható, hogy) az összeg nem lehet a legkisebb akkor, ha balról jobbra nézve a második tényezőket van közöttük kettő olyan, melyek közül a jobbra lévő a nagyobb. Mert, ha lenne ilyen, akkor kicserélve őket az összeg csökkenne.

Így a legkisebb összeg az \(\displaystyle 1 \cdot10 + 2\cdot9 + 3 \cdot8 + 4 \cdot7 + \ldots + 10 \cdot 1= 220.\)

\(\displaystyle b)\) Hasonlóan a legnagyobb összeg esetén, csak éppen fordítva: az összeg nem lehet a legnagyobb akkor, ha balról jobbra nézve a második tényezőket van közöttük kettő olyan, melyek közül a jobbra lévő a kisebb. Mert, ha lenne ilyen, akkor kicserélve őket az összeg nőne. Így a legnagyobb összeg az \(\displaystyle 1 \cdot 1 + 2 \cdot2 + 3 \cdot3 + 4 \cdot4 + \ldots 10 \cdot10 = 385.\)

Statistics:

175 students sent a solution.
5 points:	139 students.
4 points:	11 students.
3 points:	1 student.
2 points:	3 students.
1 point:	3 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2022