Problem K/C. 733. (September 2022)

K/C. 733. What is the area of the smallest rectangle that has an inscribed parallelogram in which one angle is \(\displaystyle 60^{\circ}\), sides are 4 cm and 6 cm long, and two sides lie on two sides of the rectangle?

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Két eset lehetséges, az elsőnél a téglalap egy-egy oldala a paralelogramma rövidebb olalaira illeszkedik, ebben az esetben a \(\displaystyle DG\) magasság egy \(\displaystyle 30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\)-os háromszöget vág le a paralelogrammából, így az \(\displaystyle AGH\) egyenlő oldalú háromszög, azaz \(\displaystyle AG = 3\) cm, \(\displaystyle AD = 6\) cm, ezért \(\displaystyle DG = 3\sqrt3\) cm, a téglalap területe \(\displaystyle (3 + 4) \cdot 3\sqrt3 = 21\sqrt3 \textrm{ cm}^2\).

A második esetben a téglalap egy-egy oldala a paralelogramma hosszabb oldalaira illeszkedik, ebben az esetben a \(\displaystyle DL\) magasság szintén egy \(\displaystyle 30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\)-os háromszöget vág le a paralelogrammából, most az \(\displaystyle NLC\) egyenlő oldalú háromszög, azaz \(\displaystyle LC = 2\) cm, \(\displaystyle DC = 4\) cm, ezért \(\displaystyle DL = 2\sqrt3\) cm, a téglalap területe \(\displaystyle (6 + 2) \cdot 2\sqrt3 = 16\sqrt3 \textrm{ cm}^2\).

A második esetben kisebb a téglalap területe, ami ekkor \(\displaystyle 16\sqrt3 \textrm{ cm}^2\).

Statistics:

311 students sent a solution.
5 points:	91 students.
4 points:	41 students.
3 points:	79 students.
2 points:	33 students.
1 point:	17 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	29 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2022