Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K/C. 738. feladat (2022. október)

K/C. 738. A falinaptáron a hónap napjait hét oszlopba rendezve tüntetik fel. Balról jobbra és utána fentről lefelé haladva az egyes oszlopok a hét napjainak megfelelő napok sorszámát tartalmazzák egymás után. Egy ilyen falinaptárban egy \(\displaystyle n\times n\)-es négyzetes elrendezésben található napsorszámok összege 198. Mekkora lehet az érintett napsorszámok között a legkisebb?

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Egy ilyen naptárrészben az egy oszlopban levő számok fentről lefelé mindig 7-tel növekednek. Legyen a legkisebb szám \(\displaystyle x\).

\(\displaystyle 2\times2\)-es négyzet esetén a napsorszámok összege \(\displaystyle 4x + 16 = 198\), ami nem ad \(\displaystyle x\)-re egész megoldást.

\(\displaystyle 3\times3\)-as négyzetes elrendezés esetén a 9 szám:

\(\displaystyle x\) \(\displaystyle x+1\) \(\displaystyle x+2\)
\(\displaystyle x+7\)\(\displaystyle x+8\) \(\displaystyle x+9\)
\(\displaystyle x+14\) \(\displaystyle x+15\) \(\displaystyle x+16\)

A napsorszámok összege \(\displaystyle 9x + 3 + 24 + 45 = 9x + 72 = 198\), ahonnan \(\displaystyle x = 14\). Mivel a legnagyobb szám 30, így valóban mindegyik lehet nap sorszáma.

\(\displaystyle 4\times4\)-es négyzetes elrendezés esetén a 16 szám:

\(\displaystyle x\) \(\displaystyle x+1\) \(\displaystyle x+2\) \(\displaystyle x+3\)
\(\displaystyle x+7\)\(\displaystyle x+8\) \(\displaystyle x+9\) \(\displaystyle x+10\)
\(\displaystyle x+14\) \(\displaystyle x+15\) \(\displaystyle x+16\) \(\displaystyle x+17\)
\(\displaystyle x+21\) \(\displaystyle x+22\) \(\displaystyle x+23\) \(\displaystyle x+24\)

A napsorszámok összege \(\displaystyle 16x + 192 = 198\), ami nem ad \(\displaystyle x\)-re egész megoldást.

Ennél nagyobb \(\displaystyle n\times n\)-es blokk esetén pedig a teljes hónapban már több, mint 31 nap lenne (mivel ekkor a jobb alsó napsorszám \(\displaystyle x+32\)), ami nyilván nem lehetséges.

Tehát a legkisebb napsorszám csak a 14 lehet.


Statisztika:

239 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:119 versenyző.
4 pontot kapott:27 versenyző.
3 pontot kapott:36 versenyző.
2 pontot kapott:13 versenyző.
1 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:17 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:13 dolgozat.

A KöMaL 2022. októberi matematika feladatai