Problem K/C. 738. (October 2022)
K/C. 738. In a certain calendar, the days of a month are arranged in 7 columns. Read from left to right and then from top to bottom, each column contains the same day of the week. For a certain integer \(\displaystyle n\), we select an \(\displaystyle n\times n\) square array of days and find that their sum is 198. What is the smallest number in this square?
(5 pont)
Deadline expired on November 10, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Egy ilyen naptárrészben az egy oszlopban levő számok fentről lefelé mindig 7-tel növekednek. Legyen a legkisebb szám \(\displaystyle x\).
\(\displaystyle 2\times2\)-es négyzet esetén a napsorszámok összege \(\displaystyle 4x + 16 = 198\), ami nem ad \(\displaystyle x\)-re egész megoldást.
\(\displaystyle 3\times3\)-as négyzetes elrendezés esetén a 9 szám:
| \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle x+1\) | \(\displaystyle x+2\) |
| \(\displaystyle x+7\) | \(\displaystyle x+8\) | \(\displaystyle x+9\) |
| \(\displaystyle x+14\) | \(\displaystyle x+15\) | \(\displaystyle x+16\) |
A napsorszámok összege \(\displaystyle 9x + 3 + 24 + 45 = 9x + 72 = 198\), ahonnan \(\displaystyle x = 14\). Mivel a legnagyobb szám 30, így valóban mindegyik lehet nap sorszáma.
\(\displaystyle 4\times4\)-es négyzetes elrendezés esetén a 16 szám:
| \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle x+1\) | \(\displaystyle x+2\) | \(\displaystyle x+3\) |
| \(\displaystyle x+7\) | \(\displaystyle x+8\) | \(\displaystyle x+9\) | \(\displaystyle x+10\) |
| \(\displaystyle x+14\) | \(\displaystyle x+15\) | \(\displaystyle x+16\) | \(\displaystyle x+17\) |
| \(\displaystyle x+21\) | \(\displaystyle x+22\) | \(\displaystyle x+23\) | \(\displaystyle x+24\) |
A napsorszámok összege \(\displaystyle 16x + 192 = 198\), ami nem ad \(\displaystyle x\)-re egész megoldást.
Ennél nagyobb \(\displaystyle n\times n\)-es blokk esetén pedig a teljes hónapban már több, mint 31 nap lenne (mivel ekkor a jobb alsó napsorszám \(\displaystyle x+32\)), ami nyilván nem lehetséges.
Tehát a legkisebb napsorszám csak a 14 lehet.
Statistics:
239 students sent a solution. 5 points: 122 students. 4 points: 27 students. 3 points: 37 students. 2 points: 13 students. 1 point: 6 students. 0 point: 4 students. Unfair, not evaluated: 17 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 9 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2022