Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K/C. 747. feladat (2022. december)

K/C. 747. Egy negyvenszöget valamelyik átlója két olyan sokszögre bontja, melyeknek összesen 298-cal kevesebb átlója van, mint a negyvenszögnek. Hány oldalúak ezek a sokszögek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A két kisebb sokszögnek egy közös oldala van, így az oldalszámaik összege 42, és mindkét sokszög csúcsainak száma legfeljebb 39. Pontosan azok az eredeti átlók hiányoznak a két kisebb sokszög esetén, melyek a két sokszög szétválasztott csúcsait kötötték össze (mindegyiket mindegyikkel), illetve az az átló, amely mentén vágtunk. A két sokszög szétválasztott csúcsai számának szorzata tehát 297. Az alábbi táblázatban láthatjuk a lehetőségeket (\(\displaystyle 297=3^3\cdot11\)).

az egyik sokszögben a nem közös csúcsok száma 1 3 9 11
a másik sokszögben a nem közös csúcsok száma 297, ami túl sok 99, ami túl sok 33 27
egyik sokszög oldalszáma nem lehetséges nem lehetséges 11 13
másik sokszög oldalszáma nem lehetséges nem lehetséges 35 29
a nagy sokszög oldalszáma nem lehetséges nem lehetséges 44 40

A négy lehetőség közül egy megfelelő. A negyvenszöget egy tizenháromszögre és egy huszonkilencszögre vágta az átló.


Statisztika:

271 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:158 versenyző.
4 pontot kapott:39 versenyző.
3 pontot kapott:19 versenyző.
2 pontot kapott:19 versenyző.
1 pontot kapott:9 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:14 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:9 dolgozat.

A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai