Problem K/C. 747. (December 2022)
K/C. 747. A forty-sided polygon is divided into two polygons by one of its diagonals. The two polygons altogether have 298 fewer diagonals than the forty-gon. How many sides do these polygons have?
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A két kisebb sokszögnek egy közös oldala van, így az oldalszámaik összege 42, és mindkét sokszög csúcsainak száma legfeljebb 39. Pontosan azok az eredeti átlók hiányoznak a két kisebb sokszög esetén, melyek a két sokszög szétválasztott csúcsait kötötték össze (mindegyiket mindegyikkel), illetve az az átló, amely mentén vágtunk. A két sokszög szétválasztott csúcsai számának szorzata tehát 297. Az alábbi táblázatban láthatjuk a lehetőségeket (\(\displaystyle 297=3^3\cdot11\)).
| az egyik sokszögben a nem közös csúcsok száma | 1 | 3 | 9 | 11 |
| a másik sokszögben a nem közös csúcsok száma | 297, ami túl sok | 99, ami túl sok | 33 | 27 |
| egyik sokszög oldalszáma | nem lehetséges | nem lehetséges | 11 | 13 |
| másik sokszög oldalszáma | nem lehetséges | nem lehetséges | 35 | 29 |
| a nagy sokszög oldalszáma | nem lehetséges | nem lehetséges | 44 | 40 |
A négy lehetőség közül egy megfelelő. A negyvenszöget egy tizenháromszögre és egy huszonkilencszögre vágta az átló.
Statistics:
271 students sent a solution. 5 points: 161 students. 4 points: 39 students. 3 points: 19 students. 2 points: 19 students. 1 point: 9 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 15 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 5 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2022