Problem K/C. 762. (March 2023)

K/C. 762. Each field of a \(\displaystyle 5\times5\) table is selected in some order, and a number is written in it. The number written in a particular field is the number of fields sharing a common edge with this field and already containing some numbers.

(For example, the fields of the table may have been filled in in the following order: a5, b5, c5, d5, e5, e4, e3, e2, a4, a3, a2, a1, b1, c1, d1, e1, \(\displaystyle \ldots\,\).)

Fill in the table in two other possible ways. Add the numbers in all the fields.

Prove that the sum of the numbers will always be 40, no matter how the table is filled in according to the rule.

(5 pont)

Deadline expired on April 11, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Még egy ilyen kitöltés:

A kitöltésben lévő számok összege 40.

Minden mezőre írunk számot a kitöltés során. A huszonöt mezőt összesen 40 szomszédsági oldalszakasz választja el. Minden ilyen oldalszakaszt pontosan egyszer számolunk meg: akkor, amikor a két mező közül a másodikat kitöltjük. Ezért lesz 40 a számok összege.

Statistics:

155 students sent a solution.
5 points:	89 students.
4 points:	8 students.
3 points:	21 students.
2 points:	22 students.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2023