Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K/C. 768. feladat (2023. április)

K/C. 768. A \(\displaystyle 2023\) számjegyei között pontosan egyszer szerepel a \(\displaystyle 0\). Hány olyan négyjegyű, pozitív, páratlan szám van, amelyre ez a tulajdonság nem teljesül?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.


1. megoldás. A komplementer módszert alkalmazzuk.

Összesen \(\displaystyle 9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 5=4500\) négyjegyű, pozitív, páratlan szám van. Ezek közül azok nem jók, amelyeknek számjegyei között pontosan egy darab \(\displaystyle 0\) szerepel. Az első számjegy nem lehet \(\displaystyle 0\), különben nem lenne négyjegyű a szám. Az utolsó számjegy páratlan kell, hogy legyen, mert a szám páratlan, tehát az utolsó számjegy \(\displaystyle 5\)-féle lehet. A második és a harmadik számjegy egyike \(\displaystyle 0\), ez két lehetőséget jelent. Ekkor a másik számjegy biztosan nem \(\displaystyle 0\), további megkötés nincsen, így azt \(\displaystyle 9\)-féleképpen választhatjuk meg. A fentiek miatt \(\displaystyle 9 \cdot 2 \cdot (1 \cdot 9) \cdot 5= 810\) olyan négyjegyű, páratlan szám van, amely nem felel meg a feltételeknek, ezért \(\displaystyle 4500-810=3690\) olyan szám van, amely a feladat összes feltételét teljesíti.

2. megoldás. Ha nem teljesül, hogy pontosan egy darab \(\displaystyle 0\) van a számjegyek között, akkor vagy egyáltalán nincsen \(\displaystyle 0\), vagy \(\displaystyle 1\)-nél több \(\displaystyle 0\) van, így két esetet vizsgálunk.

1. eset Ha nincs a számjegyek között \(\displaystyle 0\), azaz az első \(\displaystyle 3\) számjegy a \(\displaystyle 9\) darab nemnulla számjegy közül kerül ki, az utolsó számjegy pedig páratlan, akkor \(\displaystyle 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 5=3645\) darab ilyen szám létezik.

2. eset Ha egynél több \(\displaystyle 0\) szerepel a számjegyek között, az csakis úgy lehetséges, ha pontosan \(\displaystyle 2\) darab van, hiszen ha legalább \(\displaystyle 3\) darab lenne, akkor az első vagy az utolsó számjegy is szükségképpen az lenne, így nem teljesülne valamelyik feltétel (ti. négyjegyű, páratlan). Tehát pontosan két darab \(\displaystyle 0\) van a számjegyek között, ezek egyike sem állhat az első, illetve az utolsó helyen, így szükségképpen a két középső számjegy a \(\displaystyle 0\). Ilyen pozitív, négyjegyű, páratlan számból \(\displaystyle 9 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 5=45\) darab van.

Összesen \(\displaystyle 3645 + 45 =3690\) olyan szám van, amely a feladat összes feltételét teljesíti.


Statisztika:

213 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:163 versenyző.
4 pontot kapott:5 versenyző.
3 pontot kapott:3 versenyző.
2 pontot kapott:12 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:7 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:6 dolgozat.

A KöMaL 2023. áprilisi matematika feladatai