Problem K/C. 773. (May 2023)

K/C. 773. Is there a right-angled triangle in which the measures of the sides are integers, the lengths of exactly two sides are prime numbers and the area is also a prime number?

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on June 12, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a feladatban szereplő derékszögű háromszög két befogója \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) \(\displaystyle (a\leq b)\), átfogója \(\displaystyle c\). A háromszög területe a feltétel szerint prím: \(\displaystyle T=\frac{a\cdot b}{2}=p\), ezért \(\displaystyle a \cdot b=2p\), ahol a \(\displaystyle p\) prímszámot jelöl. Ez csak úgy lehetséges, hogy \(\displaystyle a=1\) és \(\displaystyle b=2p\), vagy \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=p\). Az előbbi esetben se \(\displaystyle a\), se \(\displaystyle b\) nem prím, tehát a feladat egyik feltétele nem teljesül. Ha az \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=p\) esetre felírjuk a Pitagorasz-tételt, akkor azt kapjuk, hogy \(\displaystyle p^2+4=c^2\), vagyis \(\displaystyle 4=(c-p)(c+p)\). Ekkor két lehetőség van:

1. \(\displaystyle c-p=1\), \(\displaystyle c+p=4\), tehát \(\displaystyle c=2,5\), így \(\displaystyle c\) nem egész;
2. \(\displaystyle c-p=2\), \(\displaystyle c+p=2\), tehát \(\displaystyle c=2\), \(\displaystyle p=0\).

A fentiek alapján nem létezik a kérdésben szereplő feltételeknek megfelelő háromszög.

Statistics:

101 students sent a solution.
5 points:	51 students.
4 points:	3 students.
3 points:	24 students.
2 points:	8 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2023