Problem K/C. 782. (October 2023)

K/C. 782. Archibald did not remember the correct way of adding fractions, and added the fractions \(\displaystyle \frac ab\) and \(\displaystyle \frac cd\) as follows: \(\displaystyle \frac ab + \frac cd = \frac{a+c}{b+d}\). Is it possible that he obtained a correct answer if \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) are positive numbers?

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Első megoldás. Ha egy pozitív tört számlálóját nem változtatjuk, és a nevezőjét csökkentjük, akkor a tört értéke nő.

\(\displaystyle \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b+d}+\frac{c}{b+d}<\frac ab + \frac cd\), tehát nem lehet egyenlő a két kifejezés értéke, azaz ez a rossz összeadás valóban rossz, és nincs olyan két pozitív tört, amit lehetne így összeadni.

Második megoldás. Tegyük fel, hogy van olyan pozitív a, b, c, d, melyekre az egyenlőség fennáll. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát (b+d)bd-vel!

\(\displaystyle \frac ab + \frac cd=\frac{a+c}{b+d},\)

\(\displaystyle a(b+d)d+c(b+d)b=bd(a+c),\)

\(\displaystyle abd+ad^2+cb^2+cbd=abd+bcd,\)

\(\displaystyle ad^2+cb^2=0.\)

A kapott egyenlőség bal oldala pozitív, így \(\displaystyle 0\) nem lehet az értéke.

Ellentmondásra jutottunk, tehát beláttuk, hogy nincs két olyan pozitív törtszám, melyre helyes lenne ez az összeadási séma.

Statistics:

250 students sent a solution.
5 points:	111 students.
4 points:	12 students.
3 points:	6 students.
2 points:	6 students.
1 point:	24 students.
0 point:	15 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	65 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2023