Problem K/C. 792. (December 2023)

K/C. 792. Let \(\displaystyle n\) be a positive integer. Prove that the last digit of the sum \(\displaystyle 1+2+3+\cdots+n\) cannot be 2, 4, 7 or 9.

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Használjuk fel az \(\displaystyle \displaystyle{1+2+3+\ldots+n =\frac{n(n+1)}{2}}\) összefüggést.
Ha ez az összeg 2, 4, 7 vagy 9-re végződne, akkor az \(\displaystyle n(n+1)\) szorzat 4-re vagy 8-ra végződne. Két egymást követő szám szorzatának utolsó számjegyét az utolsó számjegyeik szorzatának végződése adja meg. A \(\displaystyle 0\cdot1\), \(\displaystyle 1\cdot2\), \(\displaystyle 2\cdot3\), \(\displaystyle 3\cdot4\), \(\displaystyle 4\cdot5\), \(\displaystyle 5\cdot6\), \(\displaystyle 6\cdot7\), \(\displaystyle 7\cdot8\), \(\displaystyle 8\cdot9\), \(\displaystyle 9\cdot0\) szorzatok utolsó számjegye rendre 0, 2, 6, 2, 0, 0, 2, 6, 2, 0, így nem kaphatunk 4 vagy 8 végződést. Tehát a feladat állítása igaz.

Statistics:

227 students sent a solution.
5 points:	127 students.
4 points:	19 students.
3 points:	11 students.
2 points:	5 students.
1 point:	6 students.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	54 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2023