Problem K/C. 793. (December 2023)

K/C. 793. We have to fill in the \(\displaystyle 3\times 4\) table in the figure with \(\displaystyle X\)'s obeying the following rule: if there are exactly two \(\displaystyle X\)'s in the same row or column, we can put a third \(\displaystyle X\) in one of the empty cells in the row or column of the two \(\displaystyle X\)'s. Prove that regardless of the order we choose, we will be left with at least two empty cells in the end.

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kitöltést mindenképpen a középső sorban kell kezdenünk. A mezők kitöltésének sorrendjét a mezőkbe írt számokkal jelöljük. Két irányba haladhatunk, mindkettőben a második lépés ezután egyértelmű:

A folytatásban ismét kétfelé mehetünk, de ezután a negyedik lépésig ismét egyértelmű a folytatás:

Az 5. lépés ismét minden lehetőségnél kétféle lehet (a és b jelöli az ábrákon), és utána a 6. lépés ismét egyértelmű, és ezzel mindenképpen véget is ér a kitöltés. Tehát minden lehetséges esetben két mező üresen marad.

Statistics:

211 students sent a solution.
5 points:	114 students.
4 points:	18 students.
3 points:	4 students.
2 points:	13 students.
1 point:	6 students.
0 point:	5 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	47 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2023