Problem K/C. 797. (January 2024)

K/C. 797. Let us consider an isosceles right triangle with legs of length 10 cm, and let us draw three circles over the two legs and the hypotenuse as diameters. We colour one of the disks red, the other one blue and the third one green. Find the total area of those parts of the plane which are coloured with at least two colours.

(5 pont)

Deadline expired on February 12, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Készítsünk ábrát, amelyről leolvashatjuk, hogy a legalább két színnel színezett síkrész éppen a nagyobbik kör feléből és két egybevágó körszeletből áll.

Pitagorasz tételét felhasználva kiszámoljuk a nagyobbik kör sugarát: \(\displaystyle R=5 \sqrt{2}\) cm. Így a nagy félkör területe:

\(\displaystyle T_{\text{félkör}}=\frac{R^2\pi}{2}=25 \pi ~\text{cm}^2.\)

A két színnel jelölt körszeletek mindegyike a kisebb körökben éppen egy \(\displaystyle 90^{\circ}\)-os középponti szöghöz tartozik, így területét meghatározhatjuk úgy, hogy a kisebb kör területének negyedéből kivonjuk a kis, \(\displaystyle 5\) cm befogójú derékszögű háromszög (az ábrán az egyik befogója szaggatott) területét:

\(\displaystyle T_{\text{körszelet}}=\frac{5^2\pi}{4}-\frac{5^2}{2}=6,\!25 \pi-12,\!5 ~\text{cm}^2.\)

A keresett terület nagysága tehát

\(\displaystyle T=T_{\text{félkör}}+2 \cdot T_{\text{körszelet}}=25 \pi + 12,\!5 \pi-25=37,\!5 \pi -25 \approx 92,\!81 ~\text{cm}^2.\)

Statistics:

196 students sent a solution.
5 points:	77 students.
4 points:	36 students.
3 points:	15 students.
2 points:	5 students.
1 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	51 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2024