Problem K/C. 798. (January 2024)
K/C. 798. The main door of the house of the Smiths' is 2 meters high and 1 meters wide. Above the door at the height of 3 meters (measured from the floor) there is a horizontal canopy extending to 1 meter with the shape of a rectangle that has the same width as the door. In the middle of the edge of the canopy that is the furthest away from the door there is a lamp that emits light in all possible directions. Find the area of the part of the floor that is illuminated through the door by the lamp, when the door is completely open. (The ante-room behind the door is wide and long enough so that its floor contains the complete image of the door.)
(5 pont)
Deadline expired on February 12, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Oldalról nézve (az ajtó síkjára merőleges függőleges síkra vetítve) a következő (stilizált) rajzot kapjuk:
1. ábra
Ennek alapján a megvilágított rész \(\displaystyle 2\) méter hosszan nyúlik be az előszobába. Felülről nézve (az ajtó síkjára merőleges vízszintes síkra vetítve) az előtetőt, az ajtó síkját és a megvilágított részt a padlón, az alábbi stilizált ábrát készíthetjük:
2. ábra
Eszerint amennyit szélesedik a fénykúp \(\displaystyle 1\) méter magasságból érkezve az \(\displaystyle 1\) méter távolságban levő ajtóig, annak kétszeresét fogja szélesedni azalatt a \(\displaystyle 2\) méter alatt, amíg az ajtó tetejétől a padlóig ér.
Ezért a megvilágított rész egy olyan trapéz lesz, amelynek alapjai \(\displaystyle 1\) méter, illetve \(\displaystyle 3\) méter hosszúságúak, magassága pedig \(\displaystyle 2\) méter. Ennek a trapéznak a területe egyszerű számítással adódik, hogy \(\displaystyle 4\) négyzetméter.
Statistics:
144 students sent a solution. 5 points: 62 students. 4 points: 19 students. 3 points: 3 students. 2 points: 18 students. 1 point: 4 students. 0 point: 6 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 29 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2024