Problem K/C. 803. (February 2024)

K/C. 803. In a summer camp, all children except for 24 of them are ``only children'' (have no siblings), all children except for 18 have one sibling, and all children except for 14 have two siblings. How many children in this camp can have more than \(\displaystyle 2\) siblings, if we know there is at least one only child, and all the siblings of all the children are also in the camp?

Proposed by Katalin Abigél Kozma, Győr and József Korándi, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on March 11, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Legyen a táborozók létszáma \(\displaystyle x\), ekkor az egykék száma \(\displaystyle x-24 \ge 1\), azaz \(\displaystyle x \ge 25\). Az egy testvérrel rendelkezők száma \(\displaystyle x-18\), a két testvérrel rendelkezők száma \(\displaystyle x-14\), és együtt legfeljebb annyian vannak, mint a teljes létszám, tehát \(\displaystyle x-24+x-18+x-14 \le x\). Rendezzük az egyenlőtlenséget: \(\displaystyle 2x \le 56\), így \(\displaystyle x \le 28.\) Ezt a fentiekkel összevetve kapjuk, hogy \(\displaystyle x\) értéke \(\displaystyle 25\), \(\displaystyle 26\), \(\displaystyle 27\) vagy \(\displaystyle 28\), ennek megfelelően az alábbi eseteket vizsgáljuk.

1. eset. Ha \(\displaystyle x=25\), akkor \(\displaystyle 25-18=7\) táborozónak lenne egy testvére, de mivel mindenkinek a testvére is táborlakó, ők páros létszámban kell hogy legyenek, így ebben az esetben nem kapunk megoldást.

2. eset. Ha \(\displaystyle x=26\), akkor \(\displaystyle 26-24=2\) táborozónak nincsen testvére, \(\displaystyle 26-18=8\) táborozónak egy, \(\displaystyle 26-14=12\) táborozónak pedig két testvére van. Ez lehetséges, hiszen teljesül, hogy az egy testvérrel rendelkezők párosával, a két testvérrel rendelkezők pedig hármasával táboroznak. Már csak azt kell megnéznünk, hogy a \(\displaystyle 2\)-nél több testvérrel rendelkezők hányan vannak, mert nyilván \(\displaystyle 3\)-nál többen kell lenniük, ami teljesül is, hiszen a létszámuk \(\displaystyle 26-2-8-12=4\). Ebben az esetben helyes megoldást kaptunk.

3. eset. Ha \(\displaystyle x=27\), akkor \(\displaystyle 27-18=9\) táborozónak lenne egy testvére, azaz nem teljesül, hogy párosával vannak, tehát nem kapunk megoldást.

4. eset. Ha \(\displaystyle x=28\), akkor \(\displaystyle 28-14=14\) táborozónak lenne két testvére. Mivel a \(\displaystyle 14\) nem osztható \(\displaystyle 3\)-mal, nem lehetnének hármasával a két testvérrel rendelkező táborlakók, tehát nem kapunk megoldást.

Több eset nincs, ezért a táborban \(\displaystyle 4\) olyan gyerek van, akinek \(\displaystyle 2\)-nél több testvére van.

2. megoldás. Jelölje \(\displaystyle e\) az egytestvéres gyerekek számát, \(\displaystyle k\) a kéttestvéres gyerekek számát, \(\displaystyle t\) a kettőnél több testvéres gyerekek számát és \(\displaystyle n\) a testvér nélküli gyerekek számát.

Ekkor a feladat szövege alapján

(1) \(\displaystyle e+k+t=24,\)

(2) \(\displaystyle n+k+t=18,\)

(3) \(\displaystyle n+e+t=14.\)

Az (1) és (2) egyenlőségekből következik, hogy \(\displaystyle n+24-e=18\), amiből

(4) \(\displaystyle e=n+6\).

Az (1) és (3) egyenlőségből \(\displaystyle n+24-k=14\), amiből

(5) \(\displaystyle k=n+10\).

Az (1) egyenletbe a (4) és (5) alapján \(\displaystyle e\)-t és \(\displaystyle k\)-t behelyettesítve \(\displaystyle (n+6)+(n+10)+t=24\), amiből

\(\displaystyle 2n+t=8\)

Mivel \(\displaystyle n\) értéke a feladat szerint legalább egy és \(\displaystyle t\) értéke nem negatív, így \(\displaystyle n\) csak \(\displaystyle 1, 2, 3\) vagy \(\displaystyle 4\) lehet.

Ha \(\displaystyle n=1\), akkor \(\displaystyle t=6\), ha \(\displaystyle n=2\), akkor \(\displaystyle t=4\), ha \(\displaystyle n=3\), akkor \(\displaystyle t=2\), ha \(\displaystyle n=4\), akkor \(\displaystyle t=0\).

(i) \(\displaystyle n=1\) esetén \(\displaystyle e=7\), \(\displaystyle k=11\) és \(\displaystyle t=6\),

(ii) \(\displaystyle n=2\) esetén \(\displaystyle e=8\), \(\displaystyle k=12\) és \(\displaystyle t=4\),

(iii) \(\displaystyle n=3\) esetén \(\displaystyle e=9\), \(\displaystyle k=13\) és \(\displaystyle t=2\),

(iv) \(\displaystyle n=4\) esetén \(\displaystyle e=10\), \(\displaystyle k=14\) és \(\displaystyle t=0\).

Ezek mind eleget tesznek az (1), (2) és (3) feltételeinek.

Mivel mindenkinek a testvérei is ott táboroznak, ezért \(\displaystyle e\) csak páros, \(\displaystyle k\) csak 3-mal osztható, \(\displaystyle t\) pedig csak \(\displaystyle 3\)-nál nagyobb lehet. Vagyis csak a (ii) eset lehetséges, azaz a feladatnak egy megoldása van, a táborban \(\displaystyle 4\)-en vannak, akiknek \(\displaystyle 2\)-nél több testvérük van.

Statistics:

147 students sent a solution.
5 points:	58 students.
4 points:	15 students.
3 points:	7 students.
2 points:	8 students.
1 point:	9 students.
0 point:	10 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	33 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2024