Problem K/C. 808. (March 2024)
K/C. 808. The square of the sum of a real number and its reciprocal is \(\displaystyle 5\).
\(\displaystyle a)\) Find the sum of the square and the reciprocal of the square of the number without computing the number itself.
\(\displaystyle b)\) Find the sum of the cube and the reciprocal of the cube of the number without computing the number itself.
(5 pont)
Deadline expired on April 10, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) \(\displaystyle \displaystyle{\Big(x + \frac{1}{x}\Big)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}}\), azaz \(\displaystyle \displaystyle{x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 5}\), ahonnan
\(\displaystyle \displaystyle{x^2 + \frac{1}{x^2} = 3}.\)
A feladatban szereplő \(\displaystyle x\) valós szám létezik, hiszen a feltételből \(\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}}\), vagy \(\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x}=-\sqrt{5}}\), és az ezekből kapott
\(\displaystyle x^2-\sqrt{5}x+1=0,\)
illetve
\(\displaystyle x^2+\sqrt{5}x+1=0 \)
egyenleteknek van valós megoldása, mivel mindkettő diszkriminánsa \(\displaystyle D=5-4=1\), ami nagyobb, mint \(\displaystyle 0\).
\(\displaystyle b)\) Mivel \(\displaystyle \displaystyle{x^2 + \frac{1}{x^2} = 3}\), ezért \(\displaystyle \Big(\displaystyle{x + \frac{1}{x}\Big)\cdot 3 = \Big(x +\frac{1}{x}\Big)\Big(x^2 +\frac{1}{x^2}\Big)=x^3+\frac{1}{x^3}+x+\frac{1}{x}}\).
Az egyenlőség két szélét összehasonlítva
\(\displaystyle \Big(\displaystyle{x + \frac{1}{x}\Big)\cdot 2 = x^3+\frac{1}{x^3}}, \)
amiből
\(\displaystyle \displaystyle{x^3 + \frac{1}{x^3} =2\cdot \sqrt{5}} \qquad\text{vagy}\qquad \displaystyle{x^3 + \frac{1}{x^3} =-2\cdot \sqrt{5}}. \)
Statistics:
158 students sent a solution. 5 points: Auer Sára, Barna 201 Krisztina, Bartusková Viktória, Beinschroth Máté, Budai Máté, Danka Emma, Derűs Ádám , Domján István, Farkas Simon, Ferecskó Máté, Fülöp Magdaléna, Gaál Gergely, Hajnal Ákos Huba, Hetyei Dániel, Horvath Benedek, Horváth Imre, Juhász Zsombor, Jurácsik Marcell, Kókai Ákos, Komlósdi Sára, Kószó Ferenc, Kökény Kristóf, Kővágó Edit Gréta, Mikó Hédi Irma, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Nelissen Sámuel Zalán, Pázmándi Renáta , Rasztgyörgy Jázmin, Sipos Márton, Szedmák Szabrina, Tajta Sára, Tóth Hanga Katalin, Válek Péter, Varga 511 Vivien, Viczián Adél, Zólyomi Csongor. 4 points: 44 students. 3 points: 19 students. 2 points: 6 students. 1 point: 8 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 1 solutions. Not shown because of missing birth date or parental permission: 39 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2024