Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K/C. 827. feladat (2024. október)

K/C. 827. Egy hatszög minden szöge \(\displaystyle 120^{\circ}\). Mutassuk meg, hogy bármelyik két szomszédos oldal összege megegyezik a szemben fekvő szomszédos oldalak hosszának összegével.

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Mivel a hatszög minden szöge \(\displaystyle 120^{\circ}\), ezért a szemközti oldalai párhuzamosak.

Jelölje a hatszög csúcsait \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) az ábrán látható módon.

Az \(\displaystyle ED\) és a \(\displaystyle BC\) félegyenesek metszéspontját jelölje \(\displaystyle P\), az \(\displaystyle EF\) és \(\displaystyle BA\) félegyenesekét \(\displaystyle Q\). Mivel az \(\displaystyle EQBP\) négyszög szemközti oldalai párhuzamosak, így az paralelogramma, tehát a szemközti oldalai egyenlőek. Például \(\displaystyle QB=PE\), vagyis

\(\displaystyle {(1)}\)\(\displaystyle QA+AB=PD+DE. \)

Mivel az \(\displaystyle FQA\) és \(\displaystyle CPD\) háromszögek minden szöge 60°, ezért ezek szabályos háromszögek. Következésképp az egyes háromszögekben minden oldal egyenlő, például \(\displaystyle QA=AF\) és \(\displaystyle CD=PD\). E két egyenlőség és (1) alapján \(\displaystyle FA+AB\)=\(\displaystyle CD+DE\), vagyis erre a négy oldalra teljesül a feladat állítása. Mivel ez a gondolatmenet bármely 2-2 szemben fekvő oldalra érvényes, így a feladat állítása igaz.


Statisztika:

271 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:109 versenyző.
4 pontot kapott:20 versenyző.
3 pontot kapott:14 versenyző.
2 pontot kapott:24 versenyző.
1 pontot kapott:44 versenyző.
0 pontot kapott:16 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:37 dolgozat.

A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai