A K/C. 843. feladat (2025. január)

K/C. 843. Az \(\displaystyle ABC\) egyenlő szárú derékszögű háromszög \(\displaystyle AB\) befogójának \(\displaystyle B\)-n túli meghosszabbításán felvettük a \(\displaystyle D\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle BD=AB\) teljesüljön. Az \(\displaystyle AC\) befogó felezőpontja \(\displaystyle E\), az \(\displaystyle ED\) szakasz a \(\displaystyle BC\) átfogót az \(\displaystyle F\) pontban metszi. Határozzuk meg az \(\displaystyle AED\) és \(\displaystyle FEC\) háromszögek területének arányát.

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük az ábrát. Jelölje \(\displaystyle AB\) hosszát \(\displaystyle a\).

Az AED derékszögű háromszög területe: \(\displaystyle \frac12\cdot 2a\cdot\frac a2=\frac{a^2}{2}\). Az \(\displaystyle FEC\) háromszög területét két háromszög területéből tudjuk összetenni: \(\displaystyle CEG\) és \(\displaystyle EGF\) háromszögek, ahol \(\displaystyle G\) a \(\displaystyle BC\) felezőpontja. \(\displaystyle EG = \frac a2\), mert a \(\displaystyle CEG\) háromszög derékszögű, egyenlő szárú háromszög. Az \(\displaystyle EGF\) háromszög feleaakkora, mint az \(\displaystyle FBD\) háromszög, mert megfelelő oldalaik párhuzamosak, és \(\displaystyle EG\) hossza a \(\displaystyle BD\) hosszának felével egyenlő. Emiatt \(\displaystyle GF\) feleakkora, mint \(\displaystyle MF\), vagyis \(\displaystyle F\) a \(\displaystyle BG\) szakasz harmadolópontja. Emiatt az \(\displaystyle EGF\) háromszög \(\displaystyle EG\)-hez tartozó magassága \(\displaystyle \frac a2\) harmadrészével egyenlő. Tehát az \(\displaystyle FEC\) háromszög területe: \(\displaystyle \frac12\cdot\frac a2\cdot\frac a2+\frac12\cdot\frac a2\cdot\frac a6=\frac{3a^2}{24}+\frac{a^2}{24}=\frac{a^2}{6}\).

Tehát \(\displaystyle AED\) és \(\displaystyle FEC\) háromszögek területének aránya 3:1.

Statisztika:

174 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	90 versenyző.
4 pontot kapott:	23 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	25 dolgozat.

A KöMaL 2025. januári matematika feladatai