 |
A K/C. 853. feladat (2025. március) |
K/C. 853. Egy szabályos hatszög alapú egyenes hasáb alaplapjának élhossza \(\displaystyle a\), magassága \(\displaystyle b\). Tekintsük az összes alap- és oldallap minden átlója hosszainak összegét. Milyen \(\displaystyle a:b\) arány esetén lesz ez az összeg \(\displaystyle 12\bigl(a\sqrt{3}+3b\bigr)\)?
Javasolta: Róka Bálint, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az alábbi ábrán az egyenes hasáb egy oldallapját, vagyis egy \(\displaystyle a\), illetve \(\displaystyle b\) oldalú téglalapot, valamint az alaplapját, tehát egy \(\displaystyle a\) oldalú szabályos hatszöget ábrázoltunk.
A hasáb palástját \(\displaystyle 6\) darab, az ábrán megrajzolt egybevágó téglalap alkotja. A téglalapnak két átlója van, amelyek hossza a Pitagorasz-tétel miatt \(\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}\). A hasáb palástját alkotó \(\displaystyle 6\) lap átlóinak összege ezért
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle 12\sqrt{a^2+b^2}.\) |
A hasáb alapját jelentő szabályos hatszögnek összesen \(\displaystyle \displaystyle{\frac{6\cdot3}{2}=9}\) átlója van. A hatszög egy csúcsából kétféle hosszúságú átló indul ki, két rövidebb, amelyek hossza a hatszög szimmetriája miatt egyenlő, és egy hosszabb. Az utóbbi átló hossza nyilvánvalóan \(\displaystyle 2a\), hiszen a hatszöget hat darab \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög alkotja, és mivel a \(\displaystyle 2a\) hosszúságú átlóból a szabályos hatszögben \(\displaystyle 3\) van, így azok összes hossza \(\displaystyle 6a\).
Ha a rövidebb átló hosszát \(\displaystyle 2c\)-vel jelöljük, akkor a hatszög két szomszédos szabályos háromszögének közös oldala ezt az átlót merőlegesen felezi, így kapjuk az ábrán látható derékszögű háromszöget, amelynek átfogója \(\displaystyle a\), a \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szöggel szemben fekvő befogója \(\displaystyle c\) hosszúságú. Ez a derékszögű háromszög egy szabályos háromszög fele, ezért \(\displaystyle \displaystyle{c=\frac{a}{2}\sqrt{3}}\), tehát \(\displaystyle 2c=a\sqrt{3}\).
A \(\displaystyle 2c\) hosszúságú rövidebb átlóból a szabáyos hatszögben összesen \(\displaystyle 6\) darab van, így ezek összes hossza \(\displaystyle 6a\sqrt{3}\).
Mivel a hasábnak két egybevágó szabályos hatszög alaplapja van, ezért ezek összes átlóinak hosszát összeadva a
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle 12a+12a\sqrt{3}\) |
értéket kapjuk.
Így az összes alap- és oldallap minden átlója hosszainak összege (1) és (2) figyelembevételével
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle 12\Big(\sqrt{a^2+b^2}+a+a\sqrt{3}\Big).\) |
Már csak arra kell válaszolnunk, hogy a (3) összeg milyen \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{b}}\) arány mellett lesz \(\displaystyle 12\big(a\sqrt{3}+3b\big)\)-vel egyenlő.
A \(\displaystyle 12\big(\sqrt{a^2+b^2}+a+a\sqrt{3}\big)=12\big(a\sqrt{3}+3b\big)\) egyenlőségből \(\displaystyle 12\)-vel való osztás és rendezés után a
\(\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}=3b-a\)
összefüggést kapjuk, ahol \(\displaystyle 3b-a>0\) kell hogy legyen. Innen négyzetreemeléssel adódik, hogy \(\displaystyle a^2+b^2=9b^2-6ba+a^2\).
Rendezéssel és egyszerűsítéssel:
\(\displaystyle 3a=4b.\)
Ez azt jelenti, hogy a hasáb összes lapja minden átlójának hosszát összeadva akkor kaphatunk \(\displaystyle 12\big(a\sqrt{3}+3b\big)\) értéket, ha a hasáb \(\displaystyle a\) alapélének és \(\displaystyle b\) magasságának aránya \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{4}{3}}\).
Megjegyzés. Az \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{4}{3}}\) arányból következő \(\displaystyle \displaystyle{a=\frac{4}{3}b}\) mellett a \(\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}=3b-a\) egyenlet mindkét oldalának értéke \(\displaystyle \displaystyle{\frac{5}{3}b}\).
Ez megfelel a \(\displaystyle 3b-a>0\) feltételnek.
Statisztika:
159 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Aaishipragya Kahaly, Békési Máté, Farkas Noémi , Hajnal Ákos Huba, Kovács Domonkos, Papp Máté Milán, Szmodics Emese Anna. 4 pontot kapott: 107 versenyző. 3 pontot kapott: 13 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 20 dolgozat.
A KöMaL 2025. márciusi matematika feladatai