 |
A K/C. 857. feladat (2025. április) |
K/C. 857. Milyen \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számokra áll fenn az \(\displaystyle x^2+y^2\geq(x+1)(y-1)\) egyenlőtlenség? Mely valós számokra teljesül az egyenlőség?
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. május 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyenlőtlenségből a műveletek elvégzése után
\(\displaystyle x^2+y^2\geq xy-x+y-1,\)
rendezés után \(\displaystyle x^2+y^2-xy+x-y+1\geq 0\) következik. A kapott egyenlőtlenség mindkét oldalát \(\displaystyle 2\)-vel szorozva
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle 2x^2+2y^2-2xy+2x-2y+2\geq 0.\) |
Az (1) bal oldalán három teljes négyzet összege áll, mégpedig:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle (x+1)^2+(y-1)^2+(x-y)^2\geq 0.\) |
Nyilvánvaló, hogy az eredeti egyenlőtlenséggel ekvivalens (2) egyenlőtlenség minden \(\displaystyle x,y\) valós számpárra fennáll, hiszen a bal oldal három nemnegatív valós szám összege.
Egyenlőség pontosan akkor fordulhat elő, ha mindhárom, bal oldalon szereplő zárójelbeli kifejezés értéke \(\displaystyle 0\), azaz ha
\(\displaystyle x=-1;\quad y=1;\quad x=y.\)
Látható azonban, hogy nincsenek olyan \(\displaystyle x,y\) valós számok, amelyekre mindhárom feltétel egyszerre teljesül, ezért az eredeti egyenlőtlenségben az egyenlőség esete nem lehetséges.
Statisztika:
A KöMaL 2025. áprilisi matematika feladatai