 |
A K/C. 858. feladat (2025. április) |
K/C. 858. Egy \(\displaystyle 4 \times 1\)-es téglalapba négy darab kis kék négyzetet rajzoltunk az alábbi ábra szerint.
Hányadrésze egy kis kék négyzet területe a \(\displaystyle 4 \times 1\)-es téglalap területének?
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. május 12-én LEJÁRT.
Megoldás. A \(\displaystyle 4 \times 1\)-es téglalap néhány csúcsát és a legfelső kis kék négyzet két csúcsát megjelöltük a következő ábrának megfelelően.
Az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle DEC\) háromszögek szögei a megfelelő oldalak párhuzamossága miatt egyenlő nagyságúak, tehát ez a két háromszög hasonló, azaz a megfelelő oldalak aránya egyenlő. Ezért a \(\displaystyle CE=x\) és \(\displaystyle DE=y\) jelöléssel
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{x}{y}=\frac{1}{4}},\)
ahonnan
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle y=4x\) |
következik. Ugyanakkor \(\displaystyle CB=CE+EB=x+4y=1\), tehát (1) alapján \(\displaystyle 17x=1\), ezért \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{1}{17}}\), és így
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{y=\frac{4}{17}}.\) |
Egy kis kék négyzet területe \(\displaystyle t=y^2\), vagyis (2) szerint \(\displaystyle \displaystyle{t=\frac{16}{289}}\), mivel pedig a \(\displaystyle 4 \times 1\)-es téglalap területe \(\displaystyle T=4\), ezért
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{t}{T}=\frac{16}{289\cdot 4}=\frac{4}{289}},\)
tehát egy kis kék négyzet területe a \(\displaystyle 4 \times 1\)-es téglalap területének \(\displaystyle \displaystyle{\frac{4}{289}}\)-ed része.
Statisztika:
155 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 61 versenyző. 4 pontot kapott: 42 versenyző. 3 pontot kapott: 12 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 21 dolgozat.
A KöMaL 2025. áprilisi matematika feladatai