 |
A K/C. 862. feladat (2025. május) |
K/C. 862. a) Mutassuk meg, hogy az alábbi tört minden pozitív egész \(\displaystyle n\) szám esetén egyszerűsíthető, azaz a számlálója és a nevezője nem relatív prím: \(\displaystyle \displaystyle{\frac{6n^2+13n+6}{15n^2+22n+8}}\).
b) Melyek azok a pozitív egész \(\displaystyle n\) számok, amelyekre a \(\displaystyle \displaystyle{\frac{2n+3}{5n+4}}\) tört nem egyszerűsíthető, azaz a számlálója és a nevezője relatív prím?
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. a) A számlálót a középső tényező szétbontásával és többszöri kiemeléssel szorzattá alakíthatjuk a következőképpen:
\(\displaystyle 6n^2+13n+6=6n^2+9n+4n+6=3n(2n+3)+2(2n+3),\)
innen pedig
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle 6n^2+13n+6=(2n+3)(3n+2).\) |
A nevezőt hasonlóképpen bonthatjuk szorzattá:
\(\displaystyle 15n^2+22n+8=15n^2+12n+10n+8=3n(5n+4)+2(5n+4),\)
amelyből
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle 15n^2+22n+8=(5n+4)(3n+2).\) |
Az (1) és (2) összefüggésekből következik, hogy
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{6n^2+13n+6}{15n^2+22n+8}=\frac{(2n+3)(3n+2)}{(5n+4)(3n+2)}=\frac{2n+3}{5n+4}},\)
tehát az eredeti tört a \(\displaystyle 3n+2\) tényezővel egyszerűsíthető, vagyis a számláló és a nevező valóban nem relatív prímek.
b) A kérdésre úgy is válaszolhatunk, hogy megadjuk az \(\displaystyle n\) pozitív egészek azon \(\displaystyle H\) halmazát, amelyekre a \(\displaystyle \displaystyle{\frac{2n+3}{5n+4}}\) tört egyszerűsíthető, és így a feladat megoldáshalmaza \(\displaystyle N^+\setminus H\).
Legyen a tört számlálójának és nevezőjének legnagyobb közös osztója \(\displaystyle d\). Ekkor \(\displaystyle d\mid 5n+4\), és \(\displaystyle d\mid 2n+3\), ekkor \(\displaystyle d\) osztója a különbségüknek is, azaz
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle d\mid 3n+1.\) |
Mivel \(\displaystyle d\mid 3n+1\) és \(\displaystyle d\mid 2n+3\), ezért \(\displaystyle d\) osztója a két kifejezés különbségének, vagyis
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle d\mid n-2.\) |
A \(\displaystyle d\mid 2n+3\) és \(\displaystyle d\mid n-2\) miatt \(\displaystyle d\) ismét osztója a két szám különbségének, tehát
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle d\mid n+5.\) |
Végül \(\displaystyle d\mid n+5\) és \(\displaystyle d\mid n-2\) miatt \(\displaystyle d\) ezúttal is osztója a két kifejezés különbségének, azaz
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle d\mid 7.\) |
A (4) eredmény pontosan azt jelenti, hogy \(\displaystyle d=1\) vagy \(\displaystyle d=7\).
Ha \(\displaystyle d=1\), akkor a \(\displaystyle \displaystyle{\frac{2n+3}{5n+4}}\) tört nem egyszerűsíthető. Ha pedig \(\displaystyle d=7\), akkor a tört egyszerűsíthető, éspedig \(\displaystyle 7\)-tel. Az is látható (2)-ből, hogy ebben az esetben \(\displaystyle n-2=7k,\quad \big(k\in N\big)\), azaz
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle n=7k+2.\) |
Tehát az \(\displaystyle n\) pozitív egész szám \(\displaystyle 7\)-tel osztva \(\displaystyle 2\) maradékot ad.
Ezért azok az \(\displaystyle n\) számok, amelyekre a tört egyszerűsíthető, éppen a \(\displaystyle 7k+2\) alakú pozitív egészek, vagyis a \(\displaystyle H\) halmaz elemei \(\displaystyle H=\{2, 9, 16, 23,...\}\).
A feladat megoldását jelentő számok, vagyis azok, amelyekre a \(\displaystyle \displaystyle{\frac{2n+3}{5n+4}}\) tört nem egyszerűsíthető, az
\(\displaystyle \displaystyle{N^+\setminus \{2, 9, 16, 23,...\}}\)
halmazba tartozó pozitív egészek.
Megjegyzések. 1) A megoldásban az \(\displaystyle 5n+4\) és \(\displaystyle 2n+3\) számokra az euklideszi algoritmust alkalmaztuk.
2) A (4) eredményhez úgy is eljuthatunk, hogy \(\displaystyle d\mid 2(5n+4)\) és \(\displaystyle d\mid 5(2n+3)\) miatt \(\displaystyle d\) osztója a különbségüknek, azaz \(\displaystyle d\mid 7\).
Statisztika:
111 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 52 versenyző. 4 pontot kapott: 15 versenyző. 3 pontot kapott: 17 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 8 dolgozat.
A KöMaL 2025. májusi matematika feladatai