 |
A K/C. 863. feladat (2025. május) |
K/C. 863. A K. 860. feladatban szereplő Anna a négyzet alakú virágoskertjének közepére tulipánágyást készít. A mellékelt ábrán látható \(\displaystyle ABCD\) síkidom belsejébe tulipánhagymákat ültet, a kert többi részére liliomokat. Az ágyást szegélyező körívek középpontjai a négyzet csúcsai, sugaruk hossza egyenlő a négyzet oldalhosszával. Mekkora a területe Anna tulipánágyásának, ha az egész virágoskert \(\displaystyle 100~\mathrm{m}^2\) területű?
Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A feltételek alapján a virágoskert egy \(\displaystyle 10\) méter oldalú négyzet, legyenek ennek a négyzetnek a csúcsai \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\). Bizonyítani fogjuk, hogy a negyedköríveken szerkesztett ívek hossza megegyezik. Tekintsük a következő ábrát.
1. ábra
Az ívek hosszának egyenlőségéhez először azt igazoljuk, hogy az ábrán jelzett \(\displaystyle AGD\sphericalangle\) szögre \(\displaystyle \varphi=30^{\circ}\).
Az \(\displaystyle AGH\) és \(\displaystyle DFG\) egybevágó, \(\displaystyle 10\) méter oldalú szabályos háromszögek, így \(\displaystyle AGH\sphericalangle=FGD\sphericalangle=60^{\circ}\).
A \(\displaystyle \varphi\) szöget a következőképpen is kiszámolhatjuk:
\(\displaystyle \varphi=FGD\sphericalangle+AGH\sphericalangle-FGH\sphericalangle,\)
azaz
\(\displaystyle \varphi=60^{\circ}+60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}.\)
Ez azt is jelenti, hogy a \(\displaystyle G\) középpontú negyedkör mindhárom ívéhez tartozó középponti szög \(\displaystyle 30^{\circ}\)-os és ugyanez elmondható az másik három negyedköríven keletkező ívekre is. Az ívek hosszának egyenlőségéből viszont a megfelelő húrok hosszának egyenlősége is következik, vagyis \(\displaystyle AB=BC=CD=DA\). Ugyanakkor a \(\displaystyle BGC\) és \(\displaystyle DCH\) szabályos háromszögek, valamint a \(\displaystyle CGH\) olyan egyenlő szárú háromszög, amelyben \(\displaystyle CGH\sphericalangle=GHC\sphericalangle=15^{\circ}\), ezért szárszöge \(\displaystyle 150^{\circ}\)-os, ebből kapjuk, hogy az \(\displaystyle ABCD\) négyszögben \(\displaystyle BCD\sphericalangle=90^{\circ}\), ami \(\displaystyle AB=BC=CD=DA\) alapján azt jelenti, hogy \(\displaystyle ABCD\) négyzet.
Legyen az \(\displaystyle ABCD\) négyzet oldalhossza \(\displaystyle x\), a tulipánágyás területének kiszámításához vizsgáljuk a 2. ábrát.
A tulipánágyás a \(\displaystyle z\) oldalú \(\displaystyle ABCD\) négyzet és az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DA\) ívekhez tartozó körszeletek területének összegéből áll.
Egy ilyen (a 2. ábrán az \(\displaystyle AD\) szakasz és az \(\displaystyle AD\) ív által határolt) körszelet területét úgy is kiszámíthatjuk, hogy a \(\displaystyle 10\) méter sugarú, \(\displaystyle 30^{\circ}\) körcikk területéből levonjuk az \(\displaystyle AGD\) háromszög területét.
Utóbbi területéhez berajzoltuk a 2. ábrán a \(\displaystyle GD\) oldathoz tartozó \(\displaystyle AT\) magasságot. Az \(\displaystyle AGT\) háromszög egy \(\displaystyle 10\) méter oldalú szabályos háromszög fele, ezért \(\displaystyle AT=5\), így \(\displaystyle \displaystyle{T_{AGD}=\frac{10\cdot 5}{2}=25}\), a körcikk \(\displaystyle T_1\) területe pedig \(\displaystyle \displaystyle{T_1=\frac{10^2\cdot \pi}{12}}\), tehát a körszelet \(\displaystyle T_2\) területére
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{T_2=\frac{100\pi}{12}-25}.\) |
Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet területe nyilván \(\displaystyle x^2\), ehhez az \(\displaystyle ATD\) derékszögű háromszögre felírjuk a Pitagorasz-tételt:
\(\displaystyle 5^2+\Big(10-5\sqrt{3}\Big)^2=x^2,\)
hiszen \(\displaystyle GT=5\sqrt{3}\) és \(\displaystyle GD=10\). Ebből a műveletek elvégzésével és rendezéssel kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle T_{ABCD}=x^2=200-100\sqrt{3}.\) |
A tulipánágyás \(\displaystyle T\) területe \(\displaystyle T=x^2+4T_2\), ebből (1) és (2) segítségével
\(\displaystyle \displaystyle{T=200-100\sqrt{3}+\frac{100\pi}{3}-100},\)
vagyis
\(\displaystyle \displaystyle{T=100\Big(1-\sqrt{3}+\frac{\pi}{3}\Big)\approx31,51},\)
azaz körülbelül \(\displaystyle 31,51\) négyzetméter.
Statisztika:
A K/C. 863. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2025. májusi matematika feladatai