A K/C. 908. feladat (2026. május)

K/C. 908. Anna egy egységsugarú korongot tett az asztalra, Boglárka pedig Anna korongja köré lerakott három egyforma korongot. Minden külső korong érinti Anna korongját és pontosan két másik külső korongot. Mekkora a sugara Boglárka korongjainak?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Készítsünk ábrát és használjuk a jelöléseit!

A feltételek miatt nyilvánvaló, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög szabályos, továbbá Anna korongjának középpontja az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle CF\) magasságára illeszkedik. Az \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög \(\displaystyle CF\) magasságának hosszát Pitagorasz tételének alkalmazásával határozhatjuk meg:

\(\displaystyle CF^2+FB^2=BC^2, \text{ tehát } CF^2+r^2=(2r)^2, \text{ amiből } CF^2=3r^2,~CF=r\cdot \sqrt{3}.\)

Mivel \(\displaystyle CF=CO+OF\), továbbá \(\displaystyle CO=r+1\), ezért \(\displaystyle OF=CF-CO=r\sqrt{3}-(r+1).\) Most az \(\displaystyle FBO\) háromszögben alkalmazzuk Pitagorasz tételét:

\(\displaystyle OF^2+FB^2=BO^2, \text{ tehát } (r\sqrt{3}-r-1)^2+r^2=(r+1)^2,\)

\(\displaystyle 3r^2+r^2+1-2r^2\sqrt{3}-2r\sqrt{3}+2r+r^2=r^2+2r+1,\)

\(\displaystyle 4r^2-2r^2\sqrt{3}-2r\sqrt{3}=0,\)

Mivel \(\displaystyle r\) pozitív, egyszerűsítünk:

\(\displaystyle r(4-2\sqrt{3})-2\sqrt{3}=0, \text{ amiből } r=\frac{2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}}=3+2\sqrt{3}(\approx6,\!464).\)

Statisztika:

117 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	80 versenyző.
4 pontot kapott:	25 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2026. májusi matematika feladatai