Problem K. 105. (December 2006)

K. 105. A book contains 700 psalms, numbered from 1 to 700. The congregation sings one of them every Sunday. The number of the chosen psalm is displayed as a 3-digit number on a special counter, fabricated from three small wooden cubes. (One or two-digit numbers are displayed with leading zeros, e.g. 3 appears as 003 and 28 as 028.) The is one digit on faces of the cubes, respectively, and 6 can also be interpreted as a 9. a) How many cubes are needed to display every possible number? How the digits are arranged on the faces? b) How many more psalms can be included in the book without adding further cubes?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Legalább két helyen kell szerepelnie a következő számjegyeknek: 0, 7 és 8 (pl. a 100, 177 és 188 számok miatt). Legalább három helyen pedig a maradék számjegyeknek: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (a 111, 222 stb. számok miatt). Ez összesen legalább 3^.2+6^.3=24 hely, és mivel egy kockán 6 hely van, ezért legalább 24/6=4 kocka szükséges.

Ha 4 kockával szeretnénk megoldani, akkor a következőkre kell figyelnünk:

1. Nem kerülhet egy kockára ugyanaz a számjegy többször, mert akkor a három egyforma számjegyből álló megfelelő számot nem tudjuk kirakni. Vagyis minden kockán hat különböző számjegy áll.

2. Két kockán is szerepel a 0 és a 7 együtt, mert ekkor a 007 nem rakható ki.

3. Két kockán is szerepel a 0 és a 8 együtt, mert ekkor a 008 nem rakható ki.

Például a következő négy kocka teljesíti a fenti három feltételt:

1. kocka: 0, 1, 2, 3, 4, 6;

2. kocka: 1, 2, 4, 5, 7, 8;

3. kocka: 1, 2, 3, 5, 6, 8;

4. kocka: 0, 3, 4, 5, 6, 7.

Ezekből valóban kirakható az összes szám 1-700-ig:

Ha csak az 1-6-ig (a 9-et is ideértve) terjedő számjegyekből áll a szám, akkor tetszőleges sorrendben ki tudjuk választani a megfelelő kockákat, hiszen mindegyik számjegy három kockán szerepel.

Ha a számban nem csak 1-6-ig terjedő sszámjegy van, hanem szerepel benne egy vagy két számjegy a 0, 7 és 8 közül, akkor először azokhoz választunk kockát, és utoljára ahhoz a számjegyhez, ami három kockán szerepel.

Ha csak a 0, 7 és 8 számjegyekből áll, akkor a 2. és a 3. feltétel miatt a két egyforma számjegyet tartalmazó számokat elő tudjuk állítani. A maradék két számot: a 078-at és a 087-et szintén.

b) 777 nem rakható ki. A nála kisebb számok - abc - mindegyike tartalmaz 7-nél kisebb számjegyet, legyen ez mondjuk b. Ekkor a bac szám kisebb 700-nál, tehát kirakható, és így az abc szám is.

Értékelés. A feladat elég nehézre sikeredett. 2 pont annak indoklásáért járt, hogy legalább négy kockára szükség van. További 2 pontot az kapott, aki megadott egy megfelelő készletet. Ha ez a készlet jó volt, és a b) részre is választ adott a megoldás, az még további 2 pontot jelentett.

Statistics:

164 students sent a solution.
6 points:	56 students.
5 points:	9 students.
4 points:	11 students.
3 points:	25 students.
2 points:	33 students.
1 point:	19 students.
0 point:	10 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2006