Problem K. 106. (December 2006)
K. 106. The sum of the squares of three consecutive odd natural numbers is a four-digit number of identical digits. Find all possible sets of three such numbers. Are there five consecutive odd natural numbers, such that the sum of their squares is a six-digit number of equal digits?
(6 pont)
Deadline expired on January 10, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Írjuk fel a három egymást követő páratlan szám négyzetének összegét! (a-2)2+a2+(a+2)2=3a2+8. Mivel a páratlan, ezért a kapott négyzetösszeg is páratlan; másrészt pedig a négyzetösszeg nem osztható 3-mal, így csak 1111, 5555, 7777 lehet az értéke. A lehetőségeket megvizsgálva csak a 41, 43, 45 számhármas megfelelő, melyek négyzetének összege 5555.
Öt egymást követő páratlan szám négyzetének összege (a-4)2+(a-2)2+a2+(a+2)2+(a+4)2=5a2+40. Ez 5-tel osztható, így értékére csak az 555 555 jöhetne szóba, de ekkor a nem lenne egész szám. Így nem találhatunk öt megfelelő számot.
Statistics:
155 students sent a solution. 6 points: 97 students. 5 points: 13 students. 4 points: 19 students. 3 points: 6 students. 2 points: 4 students. 1 point: 2 students. 0 point: 8 students. Unfair, not evaluated: 6 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2006