Problem K. 113. (January 2007)

K. 113. How many four-digit numbers are there that consist of different digits, end in 5 and are divisible by each of their digits?

(6 pont)

Deadline expired on February 15, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A szám nem tartalmazhat páros számjegyet, hiszen nem páros. (0-t sem, mert 0-val pozitív szám nem osztható.) Számjegyei között tehát csak páratlan számjegyek szerepelhetnek. Mivel az öt lehetséges számjegyből csak egy marad ki, ezért a kapott szám biztosan osztható 3-mal (mert a 3 vagy a 9 szerepel a számjegyek között), tehát a számjegyek összegének oszthatónak kell lennie 3-mal. Az nem megfelelő, ha a 3 vagy a 9 marad ki, mert 5+7+1=13 nem osztható 3-mal. Tehát a 7 vagy az 1 marad ki. Ha a 7 marad ki, akkor az 1, 3, 5, 9 számjegyek összege 18, ami osztható 9-cel, így bármelyik ezekből készíthető, 5-re végződő szám osztható lesz 1, 3, 5, 9-cel. Ilyen számból 6 db van (az 1, 3, 9 tetszőleges sorrendben szerepelhet az első 3 helyen). Ha az 1 marad ki, akkor a 3, 5, 7, 9 számjegyekből állna a szám, de ezek összege nem osztható 9-cel. Tehát 6 db megfelelő négyjegyű szám van.

Statistics:

164 students sent a solution.
6 points:	117 students.
5 points:	5 students.
4 points:	20 students.
3 points:	5 students.
2 points:	6 students.
1 point:	3 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2007