Problem K. 160. (February 2008)

K. 160. Jack loves playing the following memory game: There are 18 kinds of picture cards, two copies of each. The 36 cards are shuffled and all layed on the table face down. The game consists of turns. In each turn, two cards are turned face up. If they are a pair of identical cards, they are removed from the table. If not, they are turned face down again. The game continues until he has removed all cards from the table. Since Jack has excellent memory, he can always remember the position of any card that he has seen. With this condition, is it possible for a game to consist of 17 turns? Of 18 turns? Of 35 turns? If so, give an example for a possible game. If not, explain why. (Assume that Jack is always trying to finish the game in the lowest number of turns, that is, he will not turn up cards again that he has already seen.)

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A játék során legalább 18 fordulóra szükség van, mert ennyi kell ahhoz, hogy az egyforma párokat fel tudja venni. 17 fordulóból tehát nem állhat egy játék, 18-ből pedig csak úgy, hogy minden fordulóban egy párt fordít ki. A játék 35 fordulóból is állhat. Például először felfordít két különböző kártyát (jelölje ezeket A és B), majd C-t és A párját. Ekkor egy fordulóval leveszi az A párt. A következőben D-t fordítja fel és B párját, majd ismét leveszi a B párt egy fordulóban. Ezt addig folytathatja, amíg legalább 3-féle kártyapár van az asztalon. Ha már csak kétféle kártya maradt, akkor eddig 16 párt vett le, az elsőt 3 fordulóval, minden továbbit 2 fordulóval, így eddig 33 forduló zajlott le. A maradék négy kártyából kettőt ismer, mert már megfordította őket, így egy ismeretlent felfordítva egy párt le tud venni, majd az utolsó kettőt is egyszerre, tehát a játék összesen 35 fordulóból áll.

Statistics:

126 students sent a solution.
6 points:	Antal Gergely, Árvay Balázs, Balogh Beáta, Baranyai Zoltán, Bartha Kristóf, Berghammer Tamás, Borza Ágnes, Botond Ákos, Csapó Anna Viktória, Csernyánszky Nándor, Csikai Tamás, Dávid Gergely, Engert János Dávid, Farkas Dániel Gergely, Frányó Ágnes, Gozsovics Dóra, Gyimesi Bernadett, Hegedűs Csaba, Horváth 248 Krisztián, Horváth 429 Gábor, Kerber Tamás, Kiss 992 László, Köpenczei Gergő, Kövér Kristóf, Kunos Vid, Mohácsi 938 Péter, Molnár Csaba, Morapitiye Sunil, Mucsi Márk, Nagy-György Péter, Nahaj Judit, Németh 113 Attila, Olajos Judit, Papp 523 Richárd, Pilisi 007 Zsolt, Rudas Csilla, Rumpl Balázs, Sass Zoltán, Simon 628 Ádám, Szabó Eszter Imola, Szatmári György, Tamás Ádám, Tóth 005 Attila, Ván Bálint, Varga 777 Ádám, Várnai Péter, Zelei Kristóf, Zempléni Réka, Zsiborás Gábor.
4 points:	1 student.
3 points:	4 students.
2 points:	65 students.
1 point:	4 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008