Problem K. 168. (March 2008)

K. 168. Consider all possible seven-digit numbers formed by using each of the digits 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 once.

a) Show that the difference of any pair of such seven-digit numbers is divisible by 9.

b) How many pairs of different numbers can be selected out of them, such that one is a factor of the other?

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: a) Az összes elkészített hétjegyű szám 9-cel osztva 1-et ad maradékul, mert a számjegyek összege 9-cel osztva 1-et ad maradékul. Ez azt jelenti, hogy bármely két felírt szám különbsége osztható 9-cel.

b) Tegyük fel, hogy van két olyan szám a felírtak között, melyek közül egyik osztója a másiknak. Legyenek ezek a és b úgy, hogy a osztója b-nek. A két szám hányadosa mindenképpen 1 és 9 közé esik (mert két hétjegyű szám hányadosa 10 már nem lehet.) Tehát b valahányszorosa a-nak, de kevesebb, mint 10-szerese. Ha vesszük a különbségüket, akkor ez a-nak többszöröse, de kevesebb, mint 9-szerese. Az a) kérdés értelmében ez a különbség osztható 9-cel, de egy sem 9-cel, sem 3-mal nem osztható számnak kevesebb, mint 9-szerese nem lehet osztható 9-cel. Tehát nem létezhet két ilyen szám a felírtak között.

Statistics:

106 students sent a solution.
6 points:	Almási Péter, Árvay Balázs, Baranyai Zoltán, Berg Milán, Berghammer Tamás, Bicskei Dávid, Botond Ákos, Czebe 007 Brigitta, Dorkó Dániel, Engert János Dávid, Farkas Zoltán, Gozsovics Dóra, Hegedűs Csaba, Iván Márton, Jezeri András, Kaplár F. Benedek, Kiss 007 Enikő, Kunos Vid, Kurucz Balázs, Mailach Petra, Medvey Fanni, Mihálykó András, Nagy-György Péter, Pánczél János Károly, Pós Eszter Sarolta, Póta Kristóf, Roboz Klaudia, Sass Zoltán, Slenker Dániel, Szepesvári Réka, Tamás Ádám, Tene Zsuzsanna, Tóth 005 Attila, Ván Bálint, Varga 777 Ádám, Várnai Péter, Vida 204 Zsóka, Zempléni Réka, Zsiborás Gábor.
5 points:	Blóz Gizella Evelin, Borza Ágnes, Czobor Ádám, Doma Péter, Horváth 429 Gábor, Köpenczei Gergő, Neumer Tamás, Schwarcz Gergő.
4 points:	6 students.
3 points:	4 students.
2 points:	28 students.
1 point:	6 students.
0 point:	12 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008