Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 199. (February 2009)

K. 199. Dixie puts five-digit numbers in order, according to the following rule: First he arranges them in decreasing order of the last digit. If the last digit is the same in two numbers, the one with the smaller first digit will precede the other. If their first digits are also the same, they will be listed in decreasing order of the product of the middle three digits. (Dixie only deals with numbers whose order can be decided by this rule.) Dixie wrote six numbers on a sheet of paper. The numbers were ordered according to the rule above, but some digits got blurred. (The blurred digits are replaced by letters here.) It reads: 42348, A8318, 56B48, 8653C, 46585, D8655. Considering all possibilities, we try to guess the six numbers. (Our guess is one possible value for each number.) What is the probability that we will get all Dixie's numbers right?

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel az első két szám utolsó számjegye és középső számjegyeik szorzata megegyezik, ezért a sorrendben az első számjegy dönt. Mivel a harmadik szám utolsó számjegye is 8 és első számjegye 5, ezért 4<A<6, vagyis A=5.

Ekkor a 2. és 3. szám első és utolsó számjegye megegyezik, középső számjegyeik szorzata pedig 24, illletve 24B. Mivel a szabály szerint 24B<24, ezért B=0.

A negyedik szám első számjegye nagyobb, mint a harmadik számé, így utolsó jegye: C\leq8. Az ötödik szám első számjegye kisebb, mint a negyedik számé, így utolsó jegye kisebb, mint a negyedik szám utolsó jegye: 5<C. Azt kaptuk, hogy 5<C\leq8. Ez C-re nézve 3 lehetőség.

Végül az utolsó két szám utolsó számjegye és középső számjegyeik szorzata megegyezik, így a szabály alapján D>4. Tehát 4<D\leq9, vagyis D 5 értéket vehet föl.

A keresett valószínűség: p=\frac{1}{3\cdot5}=\frac{1}{15}.


144 students sent a solution.
6 points:70 students.
5 points:18 students.
4 points:10 students.
3 points:13 students.
2 points:12 students.
1 point:5 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:8 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2009