Problem K. 210. (March 2009)

K. 210. The Figure shows a part of little Dorothy's bicycle. The centre of the rear wheel is A and the pedal lever TK (with one of the pedals at its endpoint K) rotates about point T. Assume that the points A, K, T are coplanar. The length of TK is 20 cm and the length of AT is 48 cm. As the lever turns around point T, how many positions does the point K have in which the distance AK in centimeters is a whole number and the triangle AKT is acute-angled?

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szimmetria miatt elég megnézni, hogy hány kívánt helyzet van a TA egyenes feletti részben. A K végpont az X ponttól az Y pontig halad a T középpontú, 20 cm sugarú köríven. Mindaddig, amíg TA szakasz Thalész-körén belül van, a TKA szög tompaszög, így ott nincs megfelelő helyzet. Amint kilépünk TA szakasz Thalész-körén kívülre, a TKA szög hegyesszöggé válik. Amint elérjük az N pontot, a továbbiakban ismét nem találtunk hegyesszögű háromszöget, mert az ATK szög válik tompaszöggé. Amíg K az N és M között van, az ATK háromszög hegyesszögű, mert a TAK szög K minden helyzetében nyilvánvalóan hegyesszög. Az MA távolság Pitagorasz-tételéből számítható: cm, az NA távolság szintén a Pitagorasz-tételből cm. Könnyen látható, hogy miközben a K pont X-ből Y-ba megy, az AK távolság folyamatosan nő (ha egy háromszög két oldala rögzített és a közbezárt szögük folyamatosan nő, akkor a harmadik oldal is folyamatosan nő), tehát az AK távolság lehetséges értékei 44, 45, ..., 51, ez összesen 8 db helyzetet jelent. A TA másik oldalán is 8 db megfelelő helyzetet találunk, tehát összesen 16 db olyan helyzete van a K pontnak, melyben a feltételek teljesülnek.

Statistics:

87 students sent a solution.
6 points:	Bende Lilla, Budafoki Dóra, Gujás István, Halász 423 Dániel, Karádi 468 Dániel Tamás, Kasó Márton, Kis Attila Soma, Könye Viktor, Kővágó Zoltán, Nagy Zsuzsanna, Nánási József, Pizág Bertalan, Rónaky Rebeka, Samu Viktor, Sándor Tímea, Sápi András, Straubinger Dániel, Szigeti Bertalan György, Táczi István, Tolnai Dániel, Zagyva Dániel.
5 points:	Bagó Bence, Bauer Barbara, Borbély Roland, Böröndy Áron, Bulla Ádám, Fazekas Gábor László, Félegyházi Dávid, Halász Dániel, Hoszták Ákos, Juhász-Bóka Bernadett, Kovács Péter, Merczel Kinga, Mezey Márton, Miklós-Kovács Janka, Serfőző Virág Fanni, Solti Bálint, Szabó Gréta, Tarcza Anna, Tornóczky Márton, Vámi Tamás Álmos, Veres Andrea, Wiszt Attila.
4 points:	13 students.
3 points:	4 students.
2 points:	2 students.
1 point:	12 students.
0 point:	11 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009