Problem K. 216. (September 2009)

K. 216. Prove that a median of a triangle is always shorter than the arithmetic mean of the adjacent sides.

(6 pont)

Deadline expired on October 12, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen F az AB szakasz felezőpontja, AC=b, BC=a, FC=s. Tükrözzük a háromszöget F-re. A kapott AC'BC négyszögben CFC' egyenesszög, CF súlyvonal képe FC', rehát ugyanolyan hosszú, ugyanígy AC' oldal hossza megegyezik BC-ével. Az AC'B háromszög oldalai a, b és 2s. A háromszög-egyenlőtlenség szerint a+b>2s, tehát \(\displaystyle \frac{a+b}{2}>s\), azaz a súlyvonal hossza kisebb, mint a közrefogó oldalak hosszának számtani közepe.

Statistics:

198 students sent a solution.
6 points:	93 students.
5 points:	31 students.
4 points:	15 students.
3 points:	9 students.
2 points:	5 students.
1 point:	6 students.
0 point:	33 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009