Problem K. 253. (September 2010)

K. 253. Peter and Paul each chose a number divisible by one hundred. Each of them added one tenth of the chosen number and also one hundredth of it to the original number. The results were 48 507 for Peter and 277 612 for Paul. One boy did the calculation correctly but the other got the last digit wrong. Which answer is correct? What were the original numbers they chose?

(6 pont)

Deadline expired on October 11, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a gondolt szám \(\displaystyle a\), akkor a tizedét és a századát hozzáadva \(\displaystyle a+\frac{a}{10}+\frac{a}{100}=\frac{111}{100}a\)-t kapjuk. Mivel \(\displaystyle a\) százzal osztható, ezért \(\displaystyle \frac{111}{100}a\) egész szám, mely osztható 111-gyel (ezért 3-mal is). A Péter által kapott 48 507 osztható 111-gyel, míg Pál 277 612-je nem, ezért Péter eredménye a helyes.

Péter a \(\displaystyle \frac{4850700}{111}=\)43 700-t választotta.

Pál helyes végeredménye a 277 611-től 277 619-ig terjedő számok valamelyike (kivéve a 277 612-t), amely osztható 111-gyel. Ez a szám csak a 277 611 lehet. Így Pál a \(\displaystyle \frac{27761100}{111}=\)250 100-t választotta.

Statistics:

340 students sent a solution.
6 points:	182 students.
5 points:	89 students.
4 points:	27 students.
3 points:	9 students.
2 points:	4 students.
1 point:	9 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	17 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010