Problem K. 255. (September 2010)

K. 255. What is the minimum number of years needed for the total number of months in them to contain digits of one and zero only?

(6 pont)

Deadline expired on October 11, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A keresendő évek száma egész, ezért a hónapok száma összesen osztható 12-vel, azaz osztható 3-mal és 4-gyel is: vizsgáljuk az oszthatóságokat!

A hónapok száma osztható 3-mal, tehát a számjegyek összege is osztható 3-mal. Mivel a vizsgált számban csak 0 és 1 van, ezért a számjegyek összege pont az egyesek száma. A hónapok száma nem nulla, ezért legalább három darab 1-es van a hónapok számában.

A hónapok száma osztható 4-gyel, ezért a százasokból és egyesekből alkotott szém is osztható 4-gyel. Az ilyen "végződések" a 00, 01, 10, 11 lehetnek, ezek közül csak a 00 osztható 4-gyel. A hónapok száma tehát osztható 100-zal.

A legkevesebb eltelt évek száma a legkevesebb hónapot is jelenti. Ezek száma 1-gyel kezdődik és 00-ra végződik és tartalmaz még legalább két 1-est, azaz legalább ötjegyű. Ha több számjegyet használnánk fel, akkor a szám is nagyobb lenne, ezért a legkisebb 12-vel osztható, csak 1-esből és 0-ból álló szám a \(\displaystyle 11 100\). A minimális évek száma pedig ennek tizenkettede, azaz 925 év.

Statistics:

305 students sent a solution.
6 points:	127 students.
5 points:	58 students.
4 points:	26 students.
3 points:	12 students.
2 points:	14 students.
1 point:	17 students.
0 point:	40 students.
Unfair, not evaluated:	11 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010