Problem K. 256. (September 2010)

K. 256. In a three-digit number, the digit in the ones' place is 3 smaller than the digit in the hundreds' place.

a) Find the largest number that meets the condition.

b) How many such numbers are there altogether?

c) Find all numbers that meet the above condition, for which by subtracting the number obtained by reversing the order of the digits the result is 297.

(6 pont)

Deadline expired on October 11, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A vizsgált számok háromjegyűek, ezek közül a legnagyobbnak az első számjegye 9: az egyesek helyén a 6 áll. A \(\displaystyle \overline{9x6}\) alakú számok közül a 996 a legnagyobb.

\(\displaystyle b)\) A feltételeknek megfelelő számok \(\displaystyle \overline{3x0},\ \overline{4x1},\ \overline{5x2},\ \overline{6x3},\ \overline{7x4},\ \overline{8x5},\ \overline{9x6}\) alakúak. Mindegyik esetben a tízesek helyén bármely számjegy állhat, tehát minden esetben 10 különböző számot kaphatunk. A feladatban megadott feltételeknek \(\displaystyle 7\cdot 10=\)70 szám tesz eleget.

\(\displaystyle c)\) A különség \(\displaystyle \overline{abc}-\overline{cba}=99a-99c=99(a-c)\). Mivel olyan \(\displaystyle \overline{abc}\) számokat vizsgálunk, melyekre telesül, hogy \(\displaystyle a-3=c\), ezért a különbség minden esetben \(\displaystyle 99\cdot 3=279\). A \(\displaystyle b)\)-ben leírt minden szám megfelel a \(\displaystyle c)\) feladat kritériumainak.

Statistics:

337 students sent a solution.
6 points:	140 students.
5 points:	79 students.
4 points:	59 students.
3 points:	21 students.
2 points:	16 students.
1 point:	11 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	10 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010