Problem K. 276. (December 2010)

K. 276. Given eight three-digit numbers, we write them next to each other in pairs to form six-digit numbers in all possible ways. We observe that there is always a six-digit number among them that is divisible by 7. Why is that so?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy számot 7-tel osztva 7 különböző maradékot kaphatunk, ezért a nyolc szám között - a skatulya-elv szerint - biztosan van két olyan, melyek 7-tel osztva ugyan azt a maradékot adják (\(\displaystyle p\)-t): legyenek \(\displaystyle N=7k+p\) és \(\displaystyle M=7l+p\). Ekkor egymás után írva \(\displaystyle 1000N+M\) vagy \(\displaystyle 1000M+N\) lesz a kapott hatjegyű szám értéke. A 7-tel való oszthatóság szerint vizsgálva pedig \(\displaystyle (143\cdot 7 -1)(7k+p)+(7l+p)=7000k+1001p+7l\) vagy \(\displaystyle (143\cdot 7 -1)(7l+p)+(7k+p)=7000l+1001p+7k\). Mivel az összegekben minden tag osztható 7-tel, ezért a hatjegyű számok is oszthatóak 7-tel.

Statistics:

129 students sent a solution.
6 points:	73 students.
5 points:	6 students.
4 points:	11 students.
3 points:	14 students.
2 points:	6 students.
1 point:	6 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010