Problem K. 289. (March 2011)

K. 289. If the middle digit of a three-digit number is deleted, the resulting number is one seventh of the original number. Which three-digit number is it?

(6 pont)

Deadline expired on April 11, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A háromjegyű szám \(\displaystyle N=\overline{abc}\), akkor a feladat szerint \(\displaystyle \overline{abc}=7\overline{ac}\), azaz \(\displaystyle N\) 7-tel osztható, másrészről legfeljebb \(\displaystyle 7\cdot 99=693\), azaz \(\displaystyle a\le 6\), így \(\displaystyle N\le 7\cdot 69=483\). Innen \(\displaystyle a\le 4\), azaz \(\displaystyle N\le 7\cdot 49=343\). Tehát \(\displaystyle a\le 3\), így \(\displaystyle n\le 7\cdot 39=273\), ezért \(\displaystyle a\le 2\) és \(\displaystyle N\le 7\cdot 29=203\). Ha \(\displaystyle a=2\), akkor \(\displaystyle N=203\) lehet csak, mert nálánál kisebb, de 199-nél nagyobb, 7-tel osztható szám nincs, de \(\displaystyle 203\ne 7\cdot 23\). Végül \(\displaystyle a=1\) lehet. Mivel \(\displaystyle N\ge 100\), ezért \(\displaystyle \overline{1c}\ge 15\), másrészről \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle 7c\) utolsó számjegye megegyezik, ezért \(\displaystyle c=5\) lehet csak. Így \(\displaystyle N=7\cdot 15=105\) valóban megfelel a feladat feltételeinek.

Statistics:

173 students sent a solution.
6 points:	79 students.
5 points:	21 students.
4 points:	33 students.
3 points:	16 students.
2 points:	3 students.
1 point:	9 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	7 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2011