Problem K. 294. (March 2011)

K. 294. Find at least two words (in any language, meaningful strings of letters) of different lengths, such that the letters can be ordered in exactly 20 different ways. Identical letters are not distinguished.

(6 pont)

Deadline expired on April 11, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a szót alkotó betűk mind különbözőek, akkor az \(\displaystyle n\) betűs szó betűit \(\displaystyle n!\)-féleképpen rendezhetjük sorba. Mivel \(\displaystyle 3!=6<20<24=4!\), ezért a megfelelő szavakban vannak azonos betűk. Ha egy betű \(\displaystyle k\)-szor fordul elő a szóban, akkor a különféle sorbarendezések száma \(\displaystyle k\)-ad része lesz, mintha azokat a betűket megkülönböztettük volna. Mivel 20 felírható \(\displaystyle \frac{5!}{3!}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}\), ezért keresünk egy 5 betűs szót, melyet 3 egyforma és két különböző betű alkot és egy 6 betűs szót, melynek két különböző betűből áll, mindkettőt háromszor használjuk fel. Az első esetre jó példa: "Lilla", a másodikra "etette".

Statistics:

115 students sent a solution.
6 points:	75 students.
5 points:	6 students.
4 points:	10 students.
3 points:	17 students.
2 points:	5 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2011