Problem K. 295. (September 2011)

K. 295. How many digits does the number 2011201020092008...10987654321 have? Is it divisible by 3?

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feladatbeli számot (jelöljük \(\displaystyle K\)-val) felépítő számokat csoportosítsuk számjegyeik száma szerint: 1-től 9-ig 9db egyjegyű, 10-től 99-ig 100db kétjegyű, 100-tól 999-ig 1000db háromjegyű és 1000-től 2011-ig 1012db négyjegyű. Ezek szerint \(\displaystyle K\) jegyeinek száma \(\displaystyle 9\cdot 1 + 100\cdot 2 + 1000\cdot 3 + 1012\cdot 4={\mathbf 7257}\). \(\displaystyle K\) pontosan akor osztható hárommal, ha számjegyei összege osztható hárommal. 0-tól 9-ig a számjegyek összege \(\displaystyle s=45\). 0-től 999-ig minden számjegy pontosan 100-szor szerepelt, 1000-től 1999-ig ismét 100-szor, az 1-t kivéve, ami 1100-szor. 2000-től 2011-ig a számjegyek összege \(\displaystyle 12\cdot 2 + 2\cdot 1 + s=71\). Tehát \(\displaystyle K\) számjegyeinek összege \(\displaystyle 200s+1000+71=10071\), ami osztható 3-mal (mert számjegyeinek összeg 9).

Statistics:

320 students sent a solution.
6 points:	121 students.
5 points:	53 students.
4 points:	26 students.
3 points:	22 students.
2 points:	59 students.
1 point:	14 students.
0 point:	23 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2011