Problem K. 309. (November 2011)

K. 309. The plane is divided into four parts by two intersecting lines. The measures of the four angles in degrees are 5x-9, 4x+27, x+y-30, y-x+3z, not necessarily in this order. What may be the four angles?

(6 pont)

Deadline expired on December 12, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. 1) Ha az \(\displaystyle 5x–9^\circ\) és a \(\displaystyle 4x+27^\circ\) nagyságú szög egymással szemben fekszik, akkor mivel csúcsszögek, egyenlők, amiből \(\displaystyle x=36^\circ\), a szögek pedig \(\displaystyle 171^\circ\)-osak. Így a másik két szög egyaránt \(\displaystyle 9^\circ\)-os kell legyen, ahonnan \(\displaystyle x+y–30^\circ=9^\circ\)-ból \(\displaystyle 36^\circ+y–30^\circ=9^\circ,\ y=3^\circ\). Valamint az \(\displaystyle y–x+3z=9^\circ\)-ból \(\displaystyle 3^\circ–36^\circ+3z=9^\circ,\ z=14^\circ\).

2) Ha az \(\displaystyle 5x–9^\circ\) és a \(\displaystyle 4x+27^\circ\) nagyságú szög egymás mellett fekszik, akkor \(\displaystyle 180^\circ\)-ra egészítik ki egymást, amiből \(\displaystyle x=18^\circ\), a szögek pedig \(\displaystyle 81^\circ\) és \(\displaystyle 99^\circ\)-osak. Így a másik két szög is ekkora. Azonban abból, hogy melyik melyik, újabb két eset áll elő:

2a) Ha \(\displaystyle 81^\circ=x+y–30^\circ\), akkor \(\displaystyle 81^\circ=18^\circ+y–30^\circ-ból y=93^\circ\). Ekkor \(\displaystyle 99^\circ=y–x+3z\), behelyettesítve \(\displaystyle 99^\circ=93^\circ–18^\circ+3z\), ahonnan \(\displaystyle z=8^\circ\).

2b) Ha \(\displaystyle 99^\circ=x+y–30^\circ\), akkor \(\displaystyle 99^\circ=18^\circ+y–30^\circ\)-ból \(\displaystyle y=111^\circ\). Ekkor \(\displaystyle 81^\circ=y–x+3z\), behelyettesítve \(\displaystyle 81^\circ=111^\circ–18^\circ+3z\), ahonnan \(\displaystyle z=–4^\circ\) lenne, ami nyilván nem lehet.

Összefoglalva két megoldást kaptunk: \(\displaystyle x=36^\circ,\ y=3^\circ,\ z=14^\circ\) és \(\displaystyle x=18^\circ,\ y=93^\circ,\ z=8^\circ\).

Statistics:

206 students sent a solution.
6 points:	73 students.
5 points:	51 students.
4 points:	6 students.
3 points:	50 students.
2 points:	10 students.
1 point:	11 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2011