Problem K. 317. (December 2011)

K. 317. What may be the number of acute angles among the interior angles of a convex polygon?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Lehet 0, 1, 2, 3 hegyesszög. Nincs hegyesszöge pl. egy szabályos hatszögnek, 1 hegyesszöge van egy derékszögű trapéznak, ami nem téglalap, 2 hegyesszöge van egy tompaszögű háromszögnek, 3 hegyesszöge van egy hegyesszögű háromszögnek. Tegyük fel, hogy van olyan konvex sokszög, amiben van 4 hegyesszög. Ekkor ezek szögösszege kevesebb lenne, mint \(\displaystyle 360^{\circ}\), a maradék \(\displaystyle n–4\) db tompaszög összege pedig kevesebb lenne, mint \(\displaystyle (n–4)180^{\circ}\), így a belső szögek összege kevesebb lenne, mint \(\displaystyle (n–4)180^{\circ} + 360^{\circ} = (n–2)180^{\circ}\), amennyi éppen az \(\displaystyle n\) oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege. Tehát nem lehet egy konvex sokszögben 4 hegyesszög. Ha tovább növelnénk a hegyesszögek számát, akkor a belső szögek összege még kisebb lenne (hiszen tompaszögeket cserélnénk hegyesszögekre), ami szintén nem megvalósítható. Így egy konvex sokszög belső szögei között legfeljebb 3 hegyesszög lehet.

Statistics:

175 students sent a solution.
6 points:	59 students.
5 points:	10 students.
4 points:	12 students.
3 points:	13 students.
2 points:	19 students.
1 point:	30 students.
0 point:	27 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011