Problem K. 341. (September 2012)

K. 341. Four congruent unit squares are separated by gaps of unit width as shown in the figure. Find the shortest path from A to B that touches each square. (It is not allowed to enter the interior of the squares.)

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az ábra jelöléseit használva a bal alsó négyzet egyik oldalán, valamint a jobb felső négyzet egyik oldalán mindenképpen végig kell menni. Ennek során A-ból indulva C-be vagy D-be, B-ből indulva pedig E-be vagy F-be érkezünk. A szimmetria miatt elég megvizsgálni, hogy D-ből E-be vagy F-be vezet-e a rövidebb út.

Ha D-ből F-be akarunk menni, akkor először a jobb alsó, majd a bal felső négyzetet kell érintenünk. a „kerülő utakat" kizárva az ábrán láthatóhoz hasonlóan kell közlekednünk, először valamilyen K pontban érintve a jobb alsó, majd L pontban érintve a bal felső négyzetet.

Tükrözzük a DK és FL szakaszokat a négyzetek megfelelő oldalaira, így minden esetben az X és Y pontokat összekötő töröttvonalat kapunk, amely akkor lesz a legrövidebb, ha egyenes, azaz az út a négyzetek csúcsain át vezet. A jelzett út hossza egy 3 egység oldalú négyzet átlója, azaz .

Ha D-ből E-be akarunk menni, akkor hasonló utat kell bejárnunk, de a bal felső négyzet érintése után F helyett E-be kell eljutnunk. Ez nyilván még az E-hez legközelebb levő G pontból is hosszabb, mint F-be menni, így a megfelelő DE utak a minimális DF útnál hosszabbak lesznek.

Statistics:

228 students sent a solution.
6 points:	Horváth 016 Gábor, Szathmári Balázs, Szlachányi Tádé, Szűcs Kilián Ádám.
5 points:	Borbás András, Keszthelyi Szilvia, Ladányi Zsuzsanna, Németh Flóra Boróka, Sieben Bertilla, Szántó Benedek, Szűcs Áron Ábrahám.
4 points:	4 students.
3 points:	4 students.
2 points:	59 students.
1 point:	109 students.
0 point:	37 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2012