Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 351. (November 2012)

K. 351. Find such numbers of the form TARTAR, divisible by 49 such that the number of the form RATRAT obtained by rearranging the digits is also divisible by 49.

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel TÚRTÚR \(\displaystyle = 1001 \cdot\) TÚR, és \(\displaystyle 1001 = 143 \cdot 7\), így elég, ha a TÚR és a RÚT oszthatók 7-tel. Ha mindkettő osztható 7-tel, akkor a különbségüknek is oszthatónak kell lennie, azaz \(\displaystyle 100T + \)10Ú \(\displaystyle + R - (100R + 10\)Ú\(\displaystyle + T) = 99(T-R)\) is osztható 7-tel. 99 nem osztható 7-tel, így a zárójelben lévő kifejezésnek kell annak lennie, ami számjegyekről lévén szó három esetben lehet: \(\displaystyle T = 7\) és \(\displaystyle R = 0\), vagy \(\displaystyle T = 8\) és \(\displaystyle R = 1\), vagy \(\displaystyle T = 9\) és \(\displaystyle R = 2\). Az első esetben a RÚTRÚT nem lenne hatjegyű, így ez nem lehet, a másik kettőből: 861861 és 168168, illetve 952952 és 259259 a két szám.


Statistics:

73 students sent a solution.
6 points:Balog 6 Klaudia, Bauer Márton, Berekai Eszter, Bodonhelyi Anna, Bottlik Judit, Coulibaly Patrik, Garaba Flórián, Gema Szabolcs, Horváth 016 Gábor, Ivkovic Iván, Juhász 326 Dániel, Kaprinai Ádám, Kasó Ferenc, Kasó Gergő, Kis Levente, Kocsis Júlia, Márton Tamás, Matusek Márton, Pálfi Mária, Papp 535 Ágnes, Papvári Dániel, Petrás Tamás, Sevella Dénes, Szathmári Balázs, Szentgyörgyi Flóra, Szűcs Kilián Ádám, Szücs Patrícia, Tóth Bálint.
5 points:Baglyas Márton, Farkas Olivér, Ipolyszegi Gábor, Kasza Bence, Marticsek Réka, Stefics Attila, Szili Dániel, Tauber Boglárka.
4 points:8 students.
3 points:6 students.
2 points:6 students.
1 point:10 students.
0 point:7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2012