Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 354. (November 2012)

K. 354. The sum of the squares of a certain positive integer and its two neighbours can be expressed as the sum of five consecutive integers. How many three-digit numbers have this property?

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a megfelelő pozitív egész szám az \(\displaystyle a\). Ekkor:

\(\displaystyle (a-1)^2+a^2+(a+1)^2=(b-2)+(b-1)+b+(b+1)+(b+2),\)

ahol \(\displaystyle b\) is pozitív egész szám. Ezt rendezzük egyszerűbb alakra:

\(\displaystyle 3a^2+2=5b.\)

A jobb oldal osztható öttel, így a bal oldal is 5-tel osztható kell, hogy legyen.

A bal oldalon az \(\displaystyle a^2\) egy négyzetszám, ezért az utolsó számjegye csak 0, 1, 4, 5, 6 vagy 9 lehet. Ha a háromszorosát kettővel növeljük, akkor a végződés 2, 5, 4, 7, 0, 9 lehet. Két esetben kaptunk öttel osztható végződést. Vagyis csak azok a számok lesznek jók, amelyeknek a négyzete 1-re, vagy 6-ra végződik. Ezek a számok 1-re, 4-re, 6-ra, illetve 9-re végződhetnek. A megfelelő háromjegyűek: 101, 104, 106, 109, 111, 114, 116, 119, …, 991, 994, 996, 999. Vagyis \(\displaystyle 4\cdot\left(\frac{991-101}{10}+1\right)=360\) darab ilyen tulajdonságú szám van.


Statistics:

132 students sent a solution.
6 points:57 students.
5 points:15 students.
4 points:6 students.
3 points:23 students.
2 points:10 students.
1 point:2 students.
0 point:19 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2012