Problem K. 354. (November 2012)
K. 354. The sum of the squares of a certain positive integer and its two neighbours can be expressed as the sum of five consecutive integers. How many three-digit numbers have this property?
(6 pont)
Deadline expired on December 10, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen a megfelelő pozitív egész szám az \(\displaystyle a\). Ekkor:
\(\displaystyle (a-1)^2+a^2+(a+1)^2=(b-2)+(b-1)+b+(b+1)+(b+2),\)
ahol \(\displaystyle b\) is pozitív egész szám. Ezt rendezzük egyszerűbb alakra:
\(\displaystyle 3a^2+2=5b.\)
A jobb oldal osztható öttel, így a bal oldal is 5-tel osztható kell, hogy legyen.
A bal oldalon az \(\displaystyle a^2\) egy négyzetszám, ezért az utolsó számjegye csak 0, 1, 4, 5, 6 vagy 9 lehet. Ha a háromszorosát kettővel növeljük, akkor a végződés 2, 5, 4, 7, 0, 9 lehet. Két esetben kaptunk öttel osztható végződést. Vagyis csak azok a számok lesznek jók, amelyeknek a négyzete 1-re, vagy 6-ra végződik. Ezek a számok 1-re, 4-re, 6-ra, illetve 9-re végződhetnek. A megfelelő háromjegyűek: 101, 104, 106, 109, 111, 114, 116, 119, …, 991, 994, 996, 999. Vagyis \(\displaystyle 4\cdot\left(\frac{991-101}{10}+1\right)=360\) darab ilyen tulajdonságú szám van.
Statistics:
132 students sent a solution. 6 points: 57 students. 5 points: 15 students. 4 points: 6 students. 3 points: 23 students. 2 points: 10 students. 1 point: 2 students. 0 point: 19 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2012