Problem K. 399. (December 2013)

K. 399. a) How many numbers A are there for which the least common multiple of 6⁶, 8⁸ and A is 12¹²?

b) How many numbers B less than 1000 are there for which the greatest common divisor of 6⁶, 30³ and B is 3³?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) \(\displaystyle 6^{6} = 2^{6} \cdot 3^{6}\) és \(\displaystyle 8^{8} = 2^{24}\), a legkisebb közös többszörös pedig \(\displaystyle 12^{12} = 2^{24} \cdot 3^{12}\), tehát a harmadik általunk keresett számban is csak 2-es és 3-as szorzók lehetnek, mégpedig 12 hármas, mert ez indokolja a legkisebb közös többszörösben is a 12-es kitevőt. A 2 kitevője azonban bármi lehet 0 és 24 között, így az \(\displaystyle A\) szám összesen 25 féle lehet.

b) \(\displaystyle 6^{6} = 2^{6} \cdot 3^{6}\) és \(\displaystyle 30^{3} = 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3}\), a legnagyobb közös osztó pedig \(\displaystyle 3^{3}\), tehát az általunk keresett számban is szerepelnie kell a 3-nak, mégpedig legalább a harmadik hatványon, viszont nem szerepelhet benne 2-es szorzó, mert akkor a közös osztóban is lennie kéne. Tehát a szám \(\displaystyle 3^{3} \cdot (2k+1)\) alakú, ahol \(\displaystyle 2k+1\) legfeljebb 37, hiszen \(\displaystyle 3^{3} \cdot37=999\). Ez összesen \(\displaystyle \frac{37+1}{2}=19\) darab szám.

Statistics:

157 students sent a solution.
6 points:	53 students.
5 points:	42 students.
4 points:	28 students.
3 points:	18 students.
2 points:	6 students.
1 point:	3 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013